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  • Step2. 中級編
  • 2. 確率分布

2-1. さまざまな確率分布


ここでは、様々な確率分布やその期待値、分散について比較を行います。

■離散型確率分布

確率変数が離散型である場合の確率分布を「離散型確率分布」、あるいは「離散型分布」といいます。離散型変数はとびとびの値をとる変数のことで、隣り合う数字の間には値が存在しないものを指します。例えば、サイコロの出る目や人数などは離散型変数です。

確率分布確率質量関数期待値分散
一様分布確率変数Xがとる確率がすべて等しい場合の分布
 \displaystyle P(X=k)=\frac{1}{N}
ただし、k=1,2, \cdots, N
\displaystyle \frac {N+1}{2}\displaystyle \frac {N^{2}-1}{12}
用語集基礎編 15-2
ベルヌーイ分布成功確率pの試行を行い成功回数Xが成功=1もしくは失敗=0となる分布
 P(X=x)=p^x(1-p)^{1-x}
pp(1-p)
用語集
二項分布成功確率pのベルヌーイ試行をn回行うときの成功回数Xの分布
 P(X=x)= {}_{n} \mathrm{C}_{x}  p^{x} (1-p)^{n-x}
ただし、x=0,1,2,\cdots,n
npnp(1-p)
用語集基礎編 13-1基礎編 13-2中級編 3-1
超幾何分布M個のAとN-M個のBで構成されるN個からなる集団から
取り出されたn個の中に含まれるAの個数Xの分布
 \displaystyle P(X=k)= \frac{_{M}C_{k} \times _{N-M}C_{n-k}}{_{N}C_{n}}
ただし、\displaystyle \max(0,\ n - (N - M)) \leq k \leq \min(n,\ M)
\displaystyle n \cdot \frac{M}{N}\displaystyle n \cdot \frac{M(N-M)}{N^2} \cdot \frac{N-n}{N-1}
用語集基礎編 13-7
ポアソン分布ある期間に平均\lambda回発生する現象が起こる回数Xの分布
  P(X=k)= \displaystyle\frac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}
ただし、k=0,1,2, \cdots
\lambda\lambda
用語集基礎編 13-3基礎編 13-4基礎編 25-3中級編 3-2
幾何分布成功確率がpの試行において、初めて成功するまでの試行回数Xの分布
 P(X=k)=(1-p)^{k-1}p
ただし、k=1,2,3,\cdots
\displaystyle \frac{1}{p}\displaystyle \frac{1-p}{p^2}
用語集基礎編 13-5基礎編 13-6中級編 3-3
負の二項分布成功確率がpである独立なベルヌーイ試行においてk回成功するまでの失敗回数Xの分布
 P(X=x)=_{k+x-1}C_{x}p^{k}(1-p)^{x}
ただし、k=1,2,3,\cdots
\displaystyle k\frac{1-p}{p}\displaystyle k\frac{1-p}{p^2}
基礎編 13-8

■連続型確率分布

連続型変数は連続した値をとるものを指します。例えば、身長や体重、温度などは連続型変数です。

確率分布確率密度関数期待値分散
一様分布a \leq X \leq bにおける一様分布は次の式で表される。
 \displaystyle f(x)= \begin{cases} \frac{1}{b-a} &  a \leq X \leq b \\ 0 & X < a, X > b\end{cases}
\displaystyle \frac {a+b}{2}\displaystyle \frac {(b-a)^2}{12}
用語集基礎編 15-2
正規分布
 \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}
ただし、-\infty<x<\infty
\mu\sigma^2
用語集基礎編 14-1基礎編 14-2中級編 4-1
指数分布ある期間に平均して\lambda回起こる現象が、次に起こるまでの期間Xが従う分布
 \displaystyle f(x) = \begin{cases} \lambda e^{- \lambda x} & x \geq  0 \\  0 & x < 0\end{cases}
\displaystyle \frac{1}{ \lambda }\displaystyle \frac{1}{ \lambda ^{2} }
用語集基礎編 15-1
ガンマ分布ある期間\betaごとに平均して1回起こる現象が、\alpha回起きるまでの期間Xが従う分布
\alphaは形状母数、\betaは尺度母数とよばれる。
 \displaystyle f(x) =\begin{cases}{\frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1}e^{-\frac{x}{\beta}}} &  x  \geq  0 \\ {0} & x < 0\end{cases}
\alpha \beta\alpha \beta^2
用語集
t分布自由度mのt分布は次の式で表される。\Gamma()はガンマ関数を表す。
 \displaystyle f(x) = \frac{\Gamma \left( \frac{m+1}{2}\right)} {\sqrt{m\pi} \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)   \left( 1+ \frac{x^2}{m} \right)^{\frac{m+1}{2}}}  \hspace{20px}
ただし、-\infty<x<\infty
0
(m>1)
\displaystyle \frac{m}{m-2}
(m>2)
用語集基礎編 20-1基礎編 20-2
カイ二乗分布正規分布に従ういくつかの変数の二乗和が従う分布
自由度mのカイ二乗分布は次の式で表される。\Gamma()はガンマ関数を表す。
 \displaystyle f(x) = \frac{1}{2^{\frac{m}{2}}\displaystyle \Gamma \left(\frac{m}{2}\right)} x^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} \hspace{20px}
ただし、0 \leq x < \infty
n2n
用語集基礎編 22-1基礎編 22-2
F分布カイ二乗分布に従う2変数の比が従う分布
自由度(m_1, m_2)のF分布は次の式で表される。\Gamma()はガンマ関数を、B()はベータ関数を表す。
 \displaystyle f(x) = \frac{\Gamma \left( \frac{m_1 + m_2}{2}\right)  \left(\frac{m_1}{m_2}\right) ^{\frac{m_1}{2}} x^{\frac{m_1}{2} - 1}} {\Gamma \left( \frac{m_1}{2} \right) \Gamma \left( \frac{m_2}{2}  \right) \left( 1 + \frac{m_1}{m_2}x \right)^{\frac{m_1 + m_2}{2}}}  \hspace{20px}
あるいは
 \displaystyle f(x) = \frac{m_1^{\frac{m_1}{2}}m_2^{\frac{m_2}{2}}}{B(\frac{m_1}{2}, \frac{m_2}{2})} \cdot \frac{x^{\frac{m_1}{2}-1}}{(m_2+m_1x)^{\frac{m_1+m_2}{2}}}
\displaystyle \frac{m_2}{m_2-2}
(m_2>2)
\displaystyle \frac{2{n_2}^2(m_1 +m_2-2)}{m_1(m_2-2)^2(m_2-4)}
(m>4)
用語集基礎編 28-1基礎編 28-2


2. 確率分布


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