Step1. 基礎編
13. いろいろな確率分布1

13-6. 幾何分布の期待値と分散

確率変数 $X$ が成功確率 $p$ の幾何分布に従っている時、その期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ は以下のようになります。

$\displaystyle E(X)=\frac{1}{p}$

$\displaystyle V(X)=\frac{1-p}{p^{2}}$

例えば、さいころを投げて1が出る確率 $\displaystyle p=\frac{1}{6}$ であることから、初めて1が出るまでの回数の期待値は次のように6回と計算できます。

$\displaystyle E(X)=\frac{1}{p}=\frac{1}{\frac{1}{6}}=6$

例題：

A、Bの2人でじゃんけんをするとき、5回目で勝敗が決まる確率はいくらでしょうか。また、勝敗が決まるまでのじゃんけんの回数の期待値はいくらでしょうか。

A	B	勝敗
グー	グー	あいこ
グー	チョキ	A勝ち
グー	パー	B勝ち
チョキ	グー	B勝ち
チョキ	チョキ	あいこ
チョキ	パー	A勝ち
パー	グー	A勝ち
パー	チョキ	B勝ち
パー	パー	あいこ

A、Bの2人でじゃんけんを1回行う場合、Aが勝つ確率は $\displaystyle \frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ 、Bが勝つ確率も同様に $\displaystyle \frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ 、あいこになる確率は $\displaystyle \frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ です。したがって、勝敗が決まる確率は $\displaystyle \frac{2}{3}$ です。5回目で勝敗が決まる確率は次のように計算できます。

$\displaystyle P(X=5)=(1-p)^{k-1} p=\left(1-\frac{2}{3}\right)^{5-1} \times \frac{2}{3}=0.00823$

また、勝敗が決まるまでの回数の期待値は、次の式から1.5回と計算できます。

$\displaystyle E(X)=\frac{1}{p}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}=1.5$

【コラム】幾何分布の無記憶性

幾何分布には「無記憶性」という性質があります。これは、「ある事象が発生する確率は、その事象が発生する前の情報の影響を受けない」というものです。例えば、「コインを投げて3回目ではじめて表が出る確率を考える場合に、1回目、2回目に連続で裏が出たとしても、3回目に表が出る確率はそれまでと同じで変化することない（＝表が出る確率が高くなるといったことはない）、というのが無記憶性です。つまり、 $n$ 回目で表が出る確率は過去の影響を受けること無く、独立した結果となります。