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  • Step1. 初級編
  • 13. いろいろな確率分布1

13-5. 幾何分布

■幾何分布

成功確率がpである独立なベルヌーイ試行を繰り返す時、初めて成功するまでの試行回数Xが従う確率分布を「幾何分布(きかぶんぷ)」といいます。確率変数Xが幾何分布に従う場合、成功確率がpの試行において、k回目で初めて成功する確率(X=kとなる確率)は次の式から計算できます。

     \begin{eqnarray*} P(X=k)=(1-p)^{k-1}  p & (k=0,1,2,\cdots) \\ \end{eqnarray*}

例えば、さいころを投げて1が出る確率はp= \displaystyle\frac{1}{6}であることから、3投目で初めて1が出る確率は次のように約11.6%と計算できます。

 \displaystyle P(X=3)=(1-p)^{k-1} p=\left(1-\frac{1}{6}\right)^{3-1} \times \frac{1}{6}=0.116

図1

■幾何分布のグラフ

同様の計算を行い、さいころを投げて初めて1が出るまでの回数の確率を表にまとめました。

初めて1が
出るまでに投げる回数
確率
10.167
20.139
30.116
40.096
50.080
60.067
70.056
80.047
90.039
100.032

この表から幾何分布のグラフを描くと次のようになります。さいころを投げて初めて1が出るまでの回数が1回となる時の確率が最も高く、その回数が多くなるにつれて確率はなだらかに低くなっていることが分かります。

図2

さまざまな幾何分布の形を見てみます。成功確率pを変化させたとき、その大小でグラフがどのように変化するかを表したものが次の図です。このグラフでは成功確率pを0.05、0.1、0.2、0.5、0.9にしています。横軸は試行回数k+1、縦軸は成功確率pを表します。pが大きくなるほどグラフの傾きは急になることが分かります。

13. いろいろな確率分布1

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