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  • Step1. 初級編
  • 13. いろいろな確率分布1

13-1. 二項分布

■ベルヌーイ試行

「コインを投げたときに表が出るか裏が出るか」のように、何かを行ったときに起こる結果が2つしかない試行のことを「ベルヌーイ試行」といいます。ベルヌーイ試行では一般に、2つの結果のうち一方を「成功」とし、確率変数Xがとる値を「1」、もう一方の結果を「失敗」とし、確率変数Xがとる値を「0」とします。そして成功の確率をp \hspace{3mm} (0 \leq p  \leq1)とすると、それぞれの確率は次のように表されます。

 P(X=1)=p
 P(X=0)=1-p

■二項分布

このベルヌーイ試行をn回行って、成功する回数Xが従う確率分布を「二項分布」といいます。また、Xが二項分布に従うとき、「X \sim B(n, p)」と書きます。npは確率分布を特徴づける値であり、「パラメータ(母数)」と呼ばれます(分母や母集団の大きさのことを母数というのは誤りです)。

n回のベルヌーイ試行を行うときにちょうどk回成功する確率、すなわちX=kとなる確率は次の式から計算することができます。

     \begin{eqnarray*} P(X=k)= {}_{n} \mathrm{C}_{k}  p^{k} (1-p)^{n-k} & (k=0,1,2,\cdots,n) \\ \end{eqnarray*}

例えば、コインを10回投げて表が3回出る確率は、表が出る確率がp=0.5であることから、次のように計算できます。

 P(X=3)=_{10} \mathrm{C}_{3} \times 0.5^{3} \times (1-0.5)^{10-3}=0.117

図1

■二項分布のグラフ

同様の計算を行い、コインを10回投げて表が出る回数の確率を表にまとめました。

表の出る回数確率
00.001
10.010
20.044
30.117
40.205
50.246
60.205
70.117
80.044
90.010
100.001

この表から二項分布のグラフを描くと次のようになります。表の出る回数が5回となる時の確率が最も高く、表の出る回数が5回より多く、もしくは少なくなるにつれて、確率は低くなっていることが分かります。

図2

次に、さまざまな二項分布のグラフの形を見てみます。前述の例はコインを10回投げて表が出る回数の確率を表したものでしたが、コインを投げる回数(=試行回数)を20、50、100回と増やした場合、コインの表が出る回数の確率のグラフは次のようになります。横軸は成功回数kを、縦軸はそのときの確率pを表しています。

図3

また、試行回数を固定し成功確率pを変化させたときに、pの大小でグラフがどのように変化するかを表したものが次の図です。このグラフでは試行回数を50回に固定し、成功確率pを0.1、0.2、0.3、0.5、0.8にしています。試行回数nが大きくなるほど、同様に成功確率pが大きくなるほどグラフの山は右側へスライドしていることが分かります。

図4

13. いろいろな確率分布1

事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -

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