- Step1. 基礎編
- 13. いろいろな確率分布1
13-2. 二項分布の期待値と分散
確率変数が二項分布
に従う時、
の期待値
と分散
は以下のようになります。
![Rendered by QuickLaTeX.com E(X)=np](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1fb2257fcb19266d1714dd2cd409fea4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com V(X)=np(1-p)](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9b73aec88c4fa80afffb0d9ffc6817fc_l3.png)
例えばコインを10回投げる時、表が出る回数の期待値
と分散
を求めてみます。コインを何回か投げたときに表が出る回数は二項分布に従います。試行回数は
、表が出る確率は
であることから、次のように計算できます。
![Rendered by QuickLaTeX.com E(X)=10 \times 0.5=5](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5e07c3826330c26525fa3b0f9d661c7f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com V(X)=10 \times 0.5 \times (1-0.5)=2.5](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb80e97ac98abc95f1caa6d95f005abe_l3.png)
例題:
あるお菓子には当たりくじがついており、1,000個中120個の確率で当たりがついているということが分かっています。このお菓子の中からランダムに10個購入したとき、10個の中に当たりが0個、1個、2個含まれる確率はそれぞれいくらでしょうか。また、当たりの個数の期待値と分散はいくらでしょうか。
ただし、ここではお菓子は無限にあり、当たりの確率は一定である(1,000個中120個の確率で当たりが出る)と仮定します。
![図1](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/uploads/2016/08/5f19f8038b959234c30f03075d8068f4.png)
この問題では「当たり」か「はずれ」の2種類の結果しか無く、当たりの確率が一定であることから、二項分布を使って計算できます。購入するお菓子は10個なので試行回数となります。1,000個中120個の確率で当たりが含まれているということが分かっているので、当たりの確率は
となります。
当たりが出る個数をとおくと、当たりが
個含まれる確率は次の式を用いて算出できます。
- X=0となる確率:
- X=1となる確率:
- X=2となる確率:
![Rendered by QuickLaTeX.com P(X=0)={}_{10} \mathrm{C}_{0} \times 0.12^{0} \times (1-0.12)^{10-0}=0.279](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0478ead64101ca61dd821c4143a248bd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com P(X=1)={}_{10} \mathrm{C}_{1} \times 0.12^{1} \times (1-0.12)^{10-1}=0.380](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-816da994febb570ed8ad650b948f01cb_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com P(X=2)={}_{10} \mathrm{C}_{2} \times 0.12^{2} \times (1-0.12)^{10-2}=0.233](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1aa09037fc6a2b470aac01b922a9f8d0_l3.png)
当たりが出る個数の期待値はを用いて、
個と算出されます。したがって、このお菓子は10個買えば1個は当たりが出ることが期待できます。
当たりが出る個数の分散はを用いて、
となります。
13. いろいろな確率分布1
事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -
- 9. 確率と期待値
9-6. 期待値
- 6. 分散と標準偏差
6-1. 分散
- 12. 累積分布関数と確率変数の期待値・分散
12-3. 確率変数の期待値
- 12. 累積分布関数と確率変数の期待値・分散
12-5. 確率変数の分散
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確率変数とは
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二項検定