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  • Step1. 初級編
  • 12. 累積分布関数と確率変数の期待値・分散

12-3. 確率変数の期待値

確率変数期待値は、確率変数がとる値とその値をとる確率の積を全て足し合わせたもので、確率変数の平均値を表します。期待値は分布の特徴を掴むために用いられる情報の一つであり、Expectation(期待)の頭文字の「E」を用いて表します。例えば、確率変数Xの期待値は「E(X)」と表します。

■離散型確率変数の場合

離散型確率変数の期待値の場合の期待値は、確率変数Xがとり得るそれぞれの値xに対応する確率pを掛け、掛けた結果を全て足し合わせることで算出できます。

Xx_1x_2・・・x_{n-1}x_n
P(X)p_{1}p_{2}・・・p_{n-1}p_{n}
 E(X)=\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \times p_i

例えばさいころを投げて出る目を確率変数Xとするとき、期待値は次のようになります。

さいころの出る目 (X)123456
確率 (P(X))\displaystyle \frac{1}{6}\displaystyle \frac{1}{6}\displaystyle \frac{1}{6}\displaystyle \frac{1}{6}\displaystyle \frac{1}{6}\displaystyle \frac{1}{6}

     \begin{eqnarray*} E(X)&=&\displaystyle \sum_{i=1}^6 x_i p_i \\ &=& 1\times \displaystyle \frac{1}{6} +2\times \displaystyle \frac{1}{6}+3\times \displaystyle \frac{1}{6}+4\times \displaystyle \frac{1}{6}+5\times \displaystyle \frac{1}{6}+6\times \displaystyle \frac{1}{6} \\ &=&\displaystyle \frac{7}{2} =3.5  \end{eqnarray*}

図1

■連続型確率変数の場合

連続型確率変数の場合の期待値は、積分によって計算することができます。

 E(X)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx

例えば確率密度関数f(x)=\displaystyle \frac{1}{6}において、確率変数Xが0から6の範囲をとるとき(0\leq X\leq 6)、期待値は次のようになります。

     \begin{eqnarray*} E(X)&=& \displaystyle \int_{0}^{6} xf(x)dx \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{6} x \times \displaystyle \frac{1}{6} dx \\ &=&\left[ \displaystyle \frac{x^2}{12} \right]_0^6 \\ &=&3 \end{eqnarray*}

【コラム】確率変数の期待値?分布の期待値?

この章で求めた期待値E(X)は、「確率変数Xの分布の期待値」です。このE(X)を、「分布の期待値」や「Xの期待値」「確率変数Xの期待値」といった言い方をすることがありますが、「確率変数Xの分布の期待値」と同じものを指します。

この後の章では二項分布一様分布など、様々な分布を扱います。そのとき、「●●分布の期待値」という言葉が出てきますが、これは確率変数Xが●●分布に従っている場合の「確率変数Xの分布の期待値」を意味します。

12. 累積分布関数と確率変数の期待値・分散

事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -