Step1. 基礎編
12. 累積分布関数と確率変数の期待値・分散

12-2. 累積分布関数の性質

累積分布関数では、確率変数がとる値が離散型、連続型のいずれにおいても以下の事項が成り立ちます。

1. F(∞)=1

この式は確率変数 $X$ がとる値が無限大以下となる確率は1であることを示しています。11-5章で学んだように、確率変数がとるすべての値の和である $F(\Omega )$ は1に等しくなるためです。

確率変数がある範囲の値しかとらないときには、 $X$ がとる値がその範囲の最大値以上となる場合においてこの式が成立します。例えば確率変数 $X$ がとる値が $a$ 以上 $b$ 以下である場合 $(a \leq X \leq b)$ 、 $b$ 以上では累積分布関数 $F(x)=1$ となります。

2. F(-∞)=0

この式は確率変数 $X$ がとる値がマイナス無限大となる確率は0であることを示しています。確率変数がある範囲の値しかとらないときには、 $X$ がとる値がその範囲の最小値以下となる場合においてこの式が成立します。例えば確率変数がとる値が $a$ 以上 $b$ 以下である場合 $(a\leq X \leq b)$ 、 $a$ 未満の $x$ において累積分布関数 $F(x)=0$ となります。

3. X≦Yである場合F(X)≦F(Y)

この式は確率変数 $X$ がとる値よりも $Y$ がとる値の方が大きい場合、その累積分布関数 $F(X)$ よりも $F(Y)$ の方が大きくなることを示しています。確率質量関数および確率密度関数では常に $f(x)\geq 0$ が成立するため、和を取った（あるいは積分した）ものである累積分布関数は、 $X$ が大きくなるにつれ $F(X)$ の値も必ず増加します（減少することは絶対にありません）。