Step1. 基礎編
12. 累積分布関数と確率変数の期待値・分散

12-1. 累積分布関数とは

累積分布関数とは「確率変数 $X$ がある値 $x$ 以下（ $X \leq x$ ）の値となる確率」を表す関数です。累積分布関数は、大文字の「 $F$ 」を用いて「 $F(x)$ 」と表されます。

$F(x)=P(X \leq x)$

例えばさいころを投げたときに「出る目が4以下となる確率」や「出る目が4から6の目が出る確率」といった、ある範囲の確率を求める場合があります。このような場合には「累積分布関数」を使うと非常に便利です。

■確率変数が離散型である場合

累積分布関数は「確率変数 $X$ のとる値が $x$ となるまでの確率 $p$ を全て足し合わせたもの」です。式で表すと次のようになります。

$X$	$x_1$	$x_2$	・・・	$x_{n-1}$	$x_n$
$P(X)$	$p_1$	$p_2$	・・・	$p_{n-1}$	$p_n$

$F(x)=P(X \leq x)= \displaystyle \sum_{X\leq x} P(X)$

例えばさいころを投げて出る目を確率変数 $X$ とするとき、累積分布関数を計算すると次のようになります。

さいころの出る目 ( $X$ )	1	2	3	4	5	6
確率 ( $P(X)$ )	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$

$X$ が1以下になる確率

$\begin{eqnarray*} F(1)&=&P(X \leq 1)= \displaystyle \sum_{X\leq 1} P(X) \\ &=&P(1)=\displaystyle \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

$X$ が2以下になる確率

$\begin{eqnarray*} F(2)&=&P(X \leq 2)= \displaystyle \sum_{X\leq 2} P(X) \\ &=&P(1) +P(2)\\ &=&\displaystyle \frac{1}{6}+\displaystyle \frac{1}{6}\\ &=& \displaystyle \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$X$ が3以下になる確率

$\begin{eqnarray*} F(3)&=&P(X \leq 3)= \displaystyle \sum_{X\leq 3} P(X) \\ &=&P(1) +P(2) +P(3)\\ &=&\displaystyle \frac{1}{6}+\displaystyle \frac{1}{6}+\displaystyle \frac{1}{6}\\ &=& \displaystyle \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$X$ が6以下になる確率

$\begin{eqnarray*} F(6)&=&P(X \leq 6)= \displaystyle \sum_{X\leq 6} P(X) \\ &=&P(1) +P(2) +P(3)+ P(4)+ P(5) +P(6)\\ &=&\displaystyle \frac{1}{6}+\displaystyle \frac{1}{6}+\displaystyle \frac{1}{6}+\displaystyle \frac{1}{6}+\displaystyle \frac{1}{6}+\displaystyle \frac{1}{6}\\ &=& 1 \end{eqnarray*}$

次の図は、さいころの出る目の確率とその累積分布関数を示したものです。 $F(6)$ は $P(1)$ から $P(6)$ までのすべての確率を足し合わせているので、「1」になります。

■確率変数が連続型である場合

累積分布関数（「確率変数 $X$ がある値 $x$ 以下 $(X\leq x)$ の値となる確率」を表す関数）は、確率密度関数における $-\infty$ から $x$ までの面積と考えることができます。確率密度関数を $f(t)$ とおくと、次のように確率密度関数 $f(t)$ の積分によって累積分布関数を求めることができます。

$F(x)=P(X \leq x)=\displaystyle \int_{- \infty}^{x} f(t)dt$

次の図は、2種類の確率密度関数とその累積分布関数を図示したものです。

【コラム】f(x)とF(x)

一般に、確率密度関数（＝確率変数 $X$ がある値 $x$ となる確率密度を表す関数）は小文字の「 $f$ 」を用いて $f(x)$ と表されます。一方、累積分布関数（＝確率変数 $X$ が $x$ 以下となる確率を表す関数）は確率密度関数と区別するため、大文字の「 $F$ 」を用いて $F(x)$ と表されます。