- Step1. 基礎編
- 12. 累積分布関数と確率変数の期待値・分散
12-1. 累積分布関数とは
累積分布関数とは「確率変数がある値
以下(
)の値となる確率」を表す関数です。累積分布関数は、大文字の「
」を用いて「
」と表されます。

例えばさいころを投げたときに「出る目が4以下となる確率」や「出る目が4から6の目が出る確率」といった、ある範囲の確率を求める場合があります。このような場合には「累積分布関数」を使うと非常に便利です。
■確率変数が離散型である場合
累積分布関数は「確率変数のとる値が
となるまでの確率
を全て足し合わせたもの」です。式で表すと次のようになります。
![]() | ![]() | ![]() | ・・・ | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ・・・ | ![]() | ![]() |

例えばさいころを投げて出る目を確率変数とするとき、累積分布関数を計算すると次のようになります。
さいころの出る目 (![]() | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
確率 (![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
が1以下になる確率
が2以下になる確率
が3以下になる確率
が6以下になる確率
次の図は、さいころの出る目の確率とその累積分布関数を示したものです。は
から
までのすべての確率を足し合わせているので、「1」になります。

■確率変数が連続型である場合
累積分布関数(「確率変数がある値
以下
の値となる確率」を表す関数)は、確率密度関数における
から
までの面積と考えることができます。確率密度関数を
とおくと、次のように確率密度関数
の積分によって累積分布関数を求めることができます。

次の図は、2種類の確率密度関数とその累積分布関数を図示したものです。

【コラム】f(x)とF(x)
一般に、確率密度関数(=確率変数がある値
となる確率密度を表す関数)は小文字の「
」を用いて
と表されます。一方、累積分布関数(=確率変数
が
以下となる確率を表す関数)は確率密度関数と区別するため、大文字の「
」を用いて
と表されます。
確率変数が連続型である場合、累積分布関数は確率密度関数
を積分することで求められます。逆に、確率密度関数
は累積分布関数
を微分することで求めることができます。
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箸休めにどうぞ。
12. 累積分布関数と確率変数の期待値・分散
事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -
- 11. 確率変数と確率分布
11-2. 離散型確率分布と確率質量関数
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