Step1. 基礎編
11. 確率変数と確率分布

11-5. 連続型確率分布と確率1

確率密度関数の場合、確率変数がある一点の値をとる確率は0になることから、”ある範囲”をとることで確率を求められます。ある確率密度関数 $f(x)$ において、 $a\leq X\leq b$ （確率変数 $X$ がとる値の範囲が $a$ 以上 $b$ 以下）となる確率は次の積分の計算によって求められます。

$P(a \leq X \leq b)= \displaystyle \int_a^b f(x)dx$

この積分では、 $a\leq X\leq b$ の範囲における確率密度関数 $f(x)$ （次の図の青色の曲線）、横軸の $X$ 軸、 $X=a$ 、 $X=b$ で囲まれる面積（次の図の青色の部分）を算出しています。

確率の約束の1つとして、「全事象が起こる確率は1である」ことは9‐1章で既に学びました。連続型確率分布では次のように表すことができます。

$\displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} f(x)dx = 1$

これは、「確率密度関数 $f(x)$ と $X$ 軸（横軸）で囲まれる部分全体の面積は1である」ことを意味します。

例題：

次のような確率密度関数があるとき、 $0\leq X\leq 1$ となる確率はいくらでしょうか。

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \vspace{3mm} \displaystyle \frac{1}{4} & (0 \leq X \leq 4) \\ 0 & (X < 0 , 4 < X) \\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

この確率密度関数を図示すると、次のようになります。

$P(0\leq X\leq 1)$ は、次のグラフの青色の部分の面積です。

この部分の面積は、積分を使って次のように計算すると $\displaystyle \frac{1}{4}$ になります。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle P(0 \leq X \leq 1) &=& \displaystyle \int_0^1 f(x)dx \\ \vspace{8mm} &=& \displaystyle \int_0^1 \displaystyle \frac{1}{4}dx \\ \vspace{8mm} &=& \left[ \displaystyle \frac{1}{4}x \right]_0^1 = \displaystyle \frac{1}{4} \times 1 - \displaystyle \frac{1}{4} \times 0 \\ \vspace{8mm} &=& \displaystyle \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$