BellCurve 統計WEB

  • Step1. 初級編
  • 11. 確率変数と確率分布

11-5. 連続型確率分布と確率1

確率密度関数の場合、確率変数がある一点の値をとる確率は0になることから、”ある範囲”をとることで確率を求められます。ある確率密度関数f(x)において、a\leq X\leq b(確率変数Xがとる値の範囲がa以上b以下)となる確率は次の積分の計算によって求められます。

 P(a \leq X \leq b)= \displaystyle \int_a^b f(x)dx

この積分では、a\leq X\leq bの範囲における確率密度関数f(x)(次の図の青色の曲線)、横軸のX軸、X=aX=bで囲まれる面積(次の図の青色の部分)を算出しています。

図2

確率の約束の1つとして、「全事象が起こる確率は1である」ことは9‐1章で既に学びました。連続型確率分布では次のように表すことができます。

 \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} f(x)dx = 1

これは、「確率密度関数f(x)X軸(横軸)で囲まれる部分全体の面積は1である」ことを意味します。

図4

例題:

次のような確率分布関数があるとき、0\leq X\leq 1となる確率はいくらでしょうか。

     \begin{eqnarray*} f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}  \vspace{3mm} \displaystyle \frac{1}{4} & (0 \leq X \leq 4) \\ 0 & (X < 0 , 4 < X) \\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}

この確率密度関数を図示すると、次のようになります。

図5

P(0\leq X\leq 1)は、次のグラフの青色の部分の面積です。

図6

この部分の面積は、積分を使って次のように計算すると\displaystyle \frac{1}{4}になります。

     \begin{eqnarray*} \displaystyle P(0 \leq X \leq 1) &=& \displaystyle \int_0^1 f(x)dx \\ \vspace{8mm} &=& \displaystyle \int_0^1 \displaystyle \frac{1}{4}dx  \\ \vspace{8mm} &=& \left[ \displaystyle \frac{1}{4} \right]_0^1 = \displaystyle \frac{1}{4} \times 1 - \displaystyle \frac{1}{4} \times 0 \\ \vspace{8mm} &=& \displaystyle \frac{1}{4} \end{eqnarray*}

11. 確率変数と確率分布

事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -