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  • Step1. 初級編
  • 11. 確率変数と確率分布

11-4. 確率密度と確率密度関数

■確率密度

次の図は連続型確率分布のイメージを表したものです。横軸は確率変数Xを表します。11‐3章で学んだように、連続型確率変数の場合には確率変数がある一点の値をとる確率は0になることから、縦軸は確率ではなく「確率密度」というものを使います。確率密度は定義域内でのXの値の「相対的な出やすさ」を表すものです。

図1

■確率密度関数

連続型確率変数Xがある値xをとる確率密度を関数f(x)とすると、f(x)を「確率密度関数」と呼びます。確率とは異なり、f(x)\geq 1になる場合もあります。f(x)を使うと、X=x(ある値x)となる確率密度は次のように表すことができます。

 f(x)=f(X=x)

例題1:

確率変数Xがとる値xが0から3までの実数を取る場合に、次のような確率密度関数f(x)を定義します。この関数からどのようなことが言えるでしょうか。

     \begin{eqnarray*} f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}  \vspace{3mm} \displaystyle \frac{2}{9}x & (0 \leq X \leq 3) \\ 0 & (X < 0 , 3 < X) \\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}

図2

X=1X=3の値を求めると次のようになります。

  • f(1)=\displaystyle \frac{2}{9}\times 1 =\displaystyle \frac{2}{9}

  • f(3)=\displaystyle \frac{2}{9}\times 3 =\displaystyle \frac{2}{3}

図3

f(1)<f(3)であることから、この確率密度関数は1よりも3が「相対的に出やすい」ことが分かります。また、「確率密度関数が右肩上がり」=「Xが大きくなるほど確率密度も高い」=「高い値が出やすい」と読み取ることもできます。X=-1X=4といったf(x)=0の領域については、そのような値が出ない(=そのような値になり得ない)ことを表しています。

例題2:

次のような確率密度関数からどのようなことが言えるでしょうか。

図4

この確率密度関数には、Xabのあたりに山が二つあります。つまり、「他の値よりもabの近くの値が出やすい」ことが分かります。また、aの方の山が高いことから「abを比べると、aに近い値の方がより出やすい」ということも読み取れます。

11. 確率変数と確率分布

事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -