Step1. 基礎編
11. 確率変数と確率分布

11-4. 確率密度と確率密度関数

■確率密度

次の図は連続型確率分布のイメージを表したものです。横軸は確率変数 $X$ を表します。11‐3章で学んだように、連続型確率変数の場合には確率変数がある一点の値をとる確率は0になることから、縦軸は確率ではなく「確率密度」というものを使います。確率密度は定義域内での $X$ の値の「相対的な出やすさ」を表すものです。

■確率密度関数

連続型確率変数Xがある値xをとる確率密度を関数 $f(x)$ とすると、 $f(x)$ を「確率密度関数」と呼びます。確率とは異なり、 $f(x)\geq 1$ になる場合もあります。

例題1：

確率変数 $X$ がとる値 $x$ が0から3までの実数を取る場合に、次のような確率密度関数 $f(x)$ を定義します。この関数からどのようなことが言えるでしょうか。

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \vspace{3mm} \displaystyle \frac{2}{9}x & (0 \leq x \leq 3) \\ 0 & (x < 0 , 3 < x) \\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

$x=1$ と $x=3$ の値を求めると次のようになります。

$f(1)=\displaystyle \frac{2}{9}\times 1 =\displaystyle \frac{2}{9}$
$f(3)=\displaystyle \frac{2}{9}\times 3 =\displaystyle \frac{2}{3}$

$f(1)<f(3)$ であることから、この確率密度関数は1よりも3が「相対的に出やすい」ことが分かります。また、「確率密度関数が右肩上がり」＝「 $X$ が大きくなるほど確率密度も高い」＝「高い値が出やすい」と読み取ることもできます。 $x=-1$ や $x=4$ といった $f(x)=0$ の領域については、そのような値が出ない（＝そのような値になり得ない）ことを表しています。

例題2：

次のような確率密度関数からどのようなことが言えるでしょうか。

この確率密度関数には、 $X$ が $a$ と $b$ のあたりに山が二つあります。つまり、「他の値よりも $a$ や $b$ の近くの値が出やすい」ことが分かります。また、 $a$ の方の山が高いことから「 $a$ と $b$ を比べると、 $a$ に近い値の方がより出やすい」ということも読み取れます。