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  • Step1. 初級編
  • 12. 累積分布関数と確率変数の期待値・分散

12-4. 期待値の性質

確率変数期待値には、4つの重要な性質があります。これらの性質は、離散型確率変数、連続型確率変数いずれにおいても成立します。さいころを投げて出る目(=確率変数X)を例として、これらの性質について解説します。なお12-3章で計算したように、ここではE(X)=3.5であることを用います。またCは値の変化しない定数とします。

1. E(C)=C

定数の期待値は定数になります。

例:すべての目が4であるさいころを投げる場合、出る目の期待値は「4」になります。

 E(4)=4

図1

2. E(X+C)=E(X)+C

確率変数に定数を足した場合の期待値は、元の確率変数の期待値に定数を足したものになります。

例:さいころを投げて出る目に3を足す場合の期待値は、元の確率変数の期待値であるE(X)=3.5に3を足した「6.5」になります。

 E(X+3)=E(X)+E(3)=3.5+3=6.5

図2

3. E(kX)=kE(X)

確率変数を定数倍したものの期待値は、元の確率変数の期待値を定数倍したものになります。

例:さいころを投げて出る目を4倍する場合の期待値は、元の確率変数の期待値であるE(X)=3.5に4を掛けた「14」になります。

 E(4 \times X)=4 \times E(X)=4 \times 3.5 =14

図3

4. E(X+Y)=E(X)+E(Y)

独立な確率変数について、確率変数の和の期待値は、それぞれの期待値の和に等しくなります。

例:異なるさいころAとBを投げて両方の出る目を足す場合の期待値は、さいころAの期待値「3.5」とさいころBの期待値「3.5」の和である「7」になります。

 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3.5+3.5=7

図4

12. 累積分布関数と確率変数の期待値・分散

事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -