Step2. 中級編
3. 離散型確率分布

3-1. 二項分布

13-1章で、成功確率 $p$ のベルヌーイ試行を $n$ 回行うときにちょうど $x$ 回成功する確率、すなわち $X=x$ となる確率は次の式から計算できることを学びました。

$\begin{eqnarray*} P(X=x)= {}_{n} \mathrm{C}_{x} p^{x} (1-p)^{n-x} & (x=0,1,2,\cdots,n) \\ \end{eqnarray*}$

この式から二項分布 $Bi(n, p)$ の期待値を求めてみます。

■期待値の算出

$\begin{eqnarray*} \displaystyle E[X] &=& \sum^{n}_{i=0} x \times p_i \\ &=& \sum_{x=0}^n x \times {}_{n} \mathrm{C}_{x} p^{x} (1-p)^{n-x} \\ &=& \sum_{x=1}^n x \times n \times \frac{1}{x} \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} p^{x} (1-p)^{n-x} \\ &=& \sum_{x=1}^n n \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} p^{x} (1-p)^{n-x} \\ &=& \sum_{x=1}^n n \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \\ &=& \sum_{x=1}^n np \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \\ &=& np\sum_{x=1}^n {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \\ \end{eqnarray*}$

ここで、 $n'=n-1$ 、 $x'=x-1$ とおくと

$\begin{eqnarray*} \displaystyle &=& np\sum_{x=1}^n {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \\ &=& np\sum_{x'=0}^n {}_{n'} \mathrm{C}_{x'} \times p^{x'} (1-p)^{n'-x'} \\ \end{eqnarray*}$

$\displaystyle \sum_{x'=0}^n {}_{n'} \mathrm{C}_{x'} \times p^{x'} (1-p)^{n'-x'}$ は二項分布の確率の総和であることから「1」になります。したがって、

$\begin{eqnarray*} \displaystyle &=& np\sum_{x'=0}^n {}_{n'} \mathrm{C}_{x'} \times p^{x'} (1-p)^{n'-x'} \\ &=& np \\ \end{eqnarray*}$

となります。

■分散の算出

分散を求めるには、 $V[X]=E[X^2] - \left\{E[X] \right\}^2$ を使います。まず $E[X^2]$ を求めます。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle E[X^2] &=& \sum^{n}_{i=1} x^2 \times p_i \\ &=& \sum_{x=0}^n x^2 \times {}_{n} \mathrm{C}_{x} p^{x} (1-p)^{n-x} \\ &=& \sum_{x=1}^n x^2 \times n \times \frac{1}{x} \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} p^{x} (1-p)^{n-x} \\ &=& \sum_{x=1}^n x \times n \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} p^{x} (1-p)^{n-x} \\ &=& \sum_{x=1}^n x \times n \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \\ &=& \sum_{x=1}^n np \times x \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \\ &=& np\sum_{x=1}^n x \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \\ &=& np\sum_{x=1}^n (x-1+1) \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \\ &=& np \left\{ \sum_{x=1}^n (x-1) \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} + \sum_{x=1}^n {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \right\} \\ \end{eqnarray*}$

ここで、 $\displaystyle \sum_{x=1}^n (x-1) \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x}$ は期待値の算出式から $(n-1)p$ となります。また、 $\displaystyle \sum_{x=1}^n {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x}$ は二項分布の確率の総和であることから「1」になります。したがって、

$\begin{eqnarray*} \displaystyle &=& np \left\{ \sum_{x=1}^n (x-1) \times {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} + \sum_{x=1}^n {}_{n-1} \mathrm{C}_{x-1} \times p^{x-1} (1-p)^{n-x} \right\} \\ &=& np \left\{ (n-1)p + 1 \right\} \\ \end{eqnarray*}$

となります。次に $\left\{E[X] \right\}^2$ を求めます。

$\displaystyle \left\{E[X] \right\}^2 = (np)^2$

これらを使って分散 $V[X]$ を求めると、

$\begin{eqnarray*} \displaystyle V[X] &=& E[X^2] - \left\{E[X] \right\}^2 \\ &=& np \left\{ (n-1)p + 1 \right\} - (np)^2 \\ &=& np-np^2 \\ &=& np(1-p) \\ \end{eqnarray*}$

となります。

■モーメント母関数を用いた期待値の算出

2-1章で学んだモーメント母関数を使って期待値を算出してみます。まずはじめに二項分布のモーメント母関数を求めます。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle M_X(t) &=& E[e^{tX}] \\ &=& \sum_{x}{e^{tx}f(x)} \\ &=& \sum_{x}{e^{tx} \times {}_{n}\mathrm{C}_{x} p^{x} (1-p)^{n-x}} \\ &=& \sum_{x}{{}_{n}\mathrm{C}_{x} e^{tx} p^{x} (1-p)^{n-x}} \\ &=& \sum_{x}{{}_{n}\mathrm{C}_{x} (e^{t}p)^{x} (1-p)^{n-x}} \\ \end{eqnarray*}$

二項定理より

$\begin{eqnarray*} \displaystyle &=& \sum_{x}{{}_{n}\mathrm{C}_{x} (e^{t}p)^{x} (1-p)^{n-x}} \\ &=& (e^{t}p+1-p)^{n} \\ \end{eqnarray*}$

となります。2-1章で学んだように

$\displaystyle M'_X(0) = E[X]$

であることから、まず $M_X(t)$ をtで1回微分します。

$\displaystyle M'_X(t) = npe^{t}(e^{t}p+1-p)^{n-1}$

0を代入すると

$\displaystyle M'_X(0) = E[X] = np(p+1-p)^{n-1} = np$

となります。

■モーメントを用いた分散の算出

2-1章で学んだように

$\displaystyle M''_X(0) = E[X^2]$

であることから、 $M_X(t)$ をtで2回微分します。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle M''_X(t) &=& \left\{npe^{t}(e^{t}p+1-p)^{n-1}\right\}' \\ &=& npe^{t}(e^{t}p+1-p)^{n-1} + npe^{t}(n-1)pe^{t}(e^{t}p+1-p)^{n-2} \\ &=& npe^{t}(e^{t}p+1-p)^{n-1} + n(n-1)p^{2}e^{2t}(e^{t}p+1-p)^{n-2} \\ \end{eqnarray*}$

0を代入すると

$\begin{eqnarray*} \displaystyle M''_X(0) &=& E[X^2] \\ &=& np(p+1^p)^{n-1} + n(n-1)p^{2}(p+1-p)^{n-2} \\ &=& np+n(n-1)p^{2} \end{eqnarray*}$

となることから、V[X]は次のように計算できます。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle V[X] &=& E[X^2] - \left\{E[X] \right\}^2 \\ &=& np+n(n-1)p^{2}-(np)^2 \\ &=& np+(np)^2-np^2-(np)^2 \\ &=& np-np^2 \\ &=& np(1-p) \end{eqnarray*}$