- Step2. 中級編
- 3. 離散型確率分布
3-2. ポアソン分布
ポアソン分布とは、二項分布においてが非常に大きく
が極めてまれな現象であるときに従う確率分布のことです。単位時間あたりにある事象が平均して
回起こる場合に、その事象が
回起こる確率は次の式から計算できます。
この式からポアソン分布の期待値を求めてみます。
■期待値の算出
ここで、とおくと
はポアソン分布の確率の総和であることから「1」になります。したがって、
となります。
■分散の算出
分散を求めるには、を使います。まず
を求めます。
ここで、は期待値の算出式から
となります。
はポアソン分布の確率の総和であることから「1」になります。したがって、
となります。次にを求めます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \left\{E[X] \right\}^2 = \lambda^2](https://bellcurve.jp/statistics/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea558f15276876b35cf2613454ad68b3_l3.png)
これらを使って分散を求めると、
となります。
■モーメント母関数を用いた期待値の算出
2-1章で学んだモーメント母関数を使って期待値を算出してみます。まずはじめにポアソン分布のモーメント母関数を求めます。
のマクローリン展開の公式より
であることから
となります。2-1章で学んだように
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle M'_X(0) = E[X]](https://bellcurve.jp/statistics/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1f23e6f41a73807eea87b0c2e729fee1_l3.png)
であることから、まずをtで1回微分します。

0を代入すると

となります。
■モーメントを用いた分散の算出
2-1章で学んだように
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle M''_X(0) = E[X^2]](https://bellcurve.jp/statistics/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-458bb322e4017a02b4296804b955e432_l3.png)
であることから、をtで2回微分します。
0を代入すると
となることから、V[X]は次のように計算できます。