Step2. 中級編
3. 離散型確率分布

3-2. ポアソン分布

ポアソン分布とは、二項分布において $n$ が非常に大きく $p$ が極めてまれな現象であるときに従う確率分布のことです。単位時間あたりにある事象が平均して $\lambda$ 回起こる場合に、その事象が $x$ 回起こる確率は次の式から計算できます。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle P(X=x)= \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x!} & (x=0,1,2, \cdots ) \\ \end{eqnarray*}$

この式からポアソン分布 $Po(\lambda)$ の期待値を求めてみます。

■期待値の算出

$\begin{eqnarray*} \displaystyle E[X] &=& \sum^{\infty}_{i=0} x \times P(X=i) \\ &=& \sum_{x=0}^{\infty} x \times \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x!} \\ &=& \sum_{x=1}^{\infty} x \times \frac{1}{x} \times \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{(x-1)!} \\ &=& \sum_{x=1}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{(x-1)!} \\ &=& \sum_{x=1}^{\infty} \lambda \times \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x-1}}{(x-1)!} \\ &=& \lambda \sum_{x=1}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x-1}}{(x-1)!} \\ \end{eqnarray*}$

ここで、 $x'=x-1$ とおくと

$\begin{eqnarray*} \displaystyle &=& \lambda \sum_{x=1}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x-1}}{(x-1)!} \\ &=& \lambda \sum_{x'=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x'}}{x'!} \\ \end{eqnarray*}$

$\displaystyle \sum_{x'=0}^n \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x'}}{x'!}}$ はポアソン分布の確率の総和であることから「1」になります。したがって、

$\begin{eqnarray*} \displaystyle &=& \lambda \sum_{x'=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x'}}{x'!} \\ &=& \lambda \\ \end{eqnarray*}$

となります。

■分散の算出

分散を求めるには、 $V[X]=E[X^2] - \left\{E[X] \right\}^2$ を使います。まず $E[X^2]$ を求めます。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle E[X^2] &=& \sum^{\infty}_{i=1} x^2 \times P(X=i) \\ &=& \sum_{x=0}^{\infty} x^2 \times \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x!} \\ &=& \sum_{x=0}^{\infty} (x^2-x+x) \times \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x!} \\ &=& \sum_{x=0}^{\infty} (x^2-x) \times \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x!} + \sum_{x=0}^{\infty} x \times \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x!}\\ &=& \sum_{x=0}^{\infty} x(x-1) \times \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x \times (x-1) \times (x-2)!} + \sum_{x=0}^{\infty} x \times \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x!}\\ &=& \sum_{x=2}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{(x-2)!} + \sum_{x=0}^{\infty} x \times \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x!}\\ \end{eqnarray*}$

ここで、 $\displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} x \times \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x!}$ は期待値の算出式から $\lambda$ となります。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle &=& \sum_{x=2}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{(x-2)!} + \sum_{x=0}^{\infty} x \times \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x!}\\ &=& \sum_{x=2}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{(x-2)!} + \lambda\\ &=& \sum_{x=2}^{\infty} \lambda^{2} \times \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x-2}}{(x-2)!} + \lambda\\ &=& \lambda^{2} \sum_{x=2}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x-2}}{(x-2)!} + \lambda\\ \end{eqnarray*}$

$\displaystyle \sum_{x=2}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x-2}}{(x-2)!}$ はポアソン分布の確率の総和であることから「1」になります。したがって、

$\begin{eqnarray*} \displaystyle &=& \lambda^{2} \sum_{x=2}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x-2}}{(x-2)!} + \lambda\\ &=& \lambda^{2} + \lambda\\ \end{eqnarray*}$

となります。次に $\left\{E[X] \right\}^2$ を求めます。

$\displaystyle \left\{E[X] \right\}^2 = \lambda^2$

これらを使って分散 $V[X]$ を求めると、

$\begin{eqnarray*} \displaystyle V[X] &=& E[X^2] - \left\{E[X] \right\}^2 \\ &=& \lambda^{2} + \lambda - \lambda^2 \\ &=& \lambda \\ \end{eqnarray*}$

となります。

■モーメント母関数を用いた期待値の算出

2-1章で学んだモーメント母関数を使って期待値を算出してみます。まずはじめにポアソン分布のモーメント母関数を求めます。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle M_X(t) &=& E[e^{tX}] \\ &=& \sum_{x}{e^{tx}f(x)} \\ &=& \sum_{x}{e^{tx} \times \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x!}} \\ &=& \sum_{x}{\frac{e^{tx} \times e^{-\lambda} \times \lambda^{x}}{x!}} \\ &=& e^{-\lambda} \times \sum_{x}{\frac{(e^{t} \times \lambda)^{x}}{x!}} \\ \end{eqnarray*}$

$e^x$ のマクローリン展開の公式より $\displaystyle e^x=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{x^k}{k!}}$ であることから

$\begin{eqnarray*} \displaystyle &=& e^{-\lambda} \times \sum_{x}{\frac{(e^{t} \times \lambda)^{x}}{x!}} \\ &=& e^{-\lambda} \times e^{e^{t}\lambda} \\ &=& e^{e^{t}\lambda-\lambda} \\ &=& e^{\lambda(e^{t}-1)} \\ \end{eqnarray*}$

となります。2-1章で学んだように

$\displaystyle M'_X(0) = E[X]$

であることから、まず $M_X(t)$ をtで1回微分します。

$\displaystyle M'_X(t) = \left\{ e^{\lambda(e^{t}-1)} \right\}' = \left\{ \lambda(e^{t}-1) \right\}'e^{\lambda(e^{t}-1)} = \lambda e^{t} e^{\lambda(e^{t}-1)} = \lambda e^{\lambda(e^{t}-1)+t}$

0を代入すると

$\displaystyle M'_X(0) = \lambda e^{\lambda(e^{0}-1)+0} = \lambda e^{\lambda(1-1)+0} = \lambda e^{0} = \lambda$

となります。

■モーメントを用いた分散の算出

2-1章で学んだように

$\displaystyle M''_X(0) = E[X^2]$

であることから、 $M_X(t)$ をtで2回微分します。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle M''_X(t) &=& \left\{ \lambda e^{\lambda(e^{t}-1)+t} \right\}' \\ &=& \lambda \left\{ {\lambda(e^{t}-1)+t} \right\}' e^{\lambda(e^{t}-1)+t} \\ &=& \lambda ( \lambda e^{t}+1) e^{\lambda(e^{t}-1)+t} \\ \end{eqnarray*}$

0を代入すると

$\begin{eqnarray*} \displaystyle M''_X(0) &=& \lambda ( \lambda e^{0}+1) e^{\lambda(e^{0}-1)+0} \\ &=& \lambda ( \lambda+1) e^{\lambda(1-1)+0} \\ &=& \lambda ( \lambda+1) \\ &=& \lambda^2 + \lambda \\ \end{eqnarray*}$