- Step2. 中級編
- 3. 離散型確率分布
3-3. 幾何分布
成功確率がである独立なベルヌーイ試行を繰り返す時、初めて成功するまでの試行回数
が従う確率分布を幾何分布といいます。確率変数が幾何分布に従う場合、成功確率が
の試行において、
回目で初めて成功する確率は次の式から計算できます。
この式から幾何分布の期待値を求めてみます。
■期待値の算出
となります。ここで、を求めると、
となります。を求めると、
となることから、等比数列の和の公式より
ここでを考えると
となります。
■分散の算出
分散を求めるには、を使います。まず
を求めます。
となります。ここで、を求めると、
となります。を求めると、
この式を整理すると
となります。この式をよく見ると、等差数列と等比数列の積になっています。公比をかけた式を作り、
を計算します。
となります。等比数列の和の公式を利用すると
ここでを考えると
となります。次にを求めます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \left\{E[X] \right\}^2 = \frac{1}{p^2}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b1a25058fe3a408f063e21e688e3c3e8_l3.png)
これらを使って分散を求めると、
となります。
■モーメント母関数を用いた期待値の算出
2-1章で学んだモーメント母関数を使って期待値を算出してみます。まずはじめに幾何分布のモーメント母関数を求めます。
となることから、等比数列の和の公式より
この式はのときに収束します。このとき、
となります。2-1章で学んだように
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle M'_X(0) = E[X]](https://bellcurve.jp/statistics/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1f23e6f41a73807eea87b0c2e729fee1_l3.png)
であることから、まずをtで1回微分します。
t=0を代入すると

となります。
■モーメントを用いた分散の算出
2-1章で学んだように
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle M''_X(0) = E[X^2]](https://bellcurve.jp/statistics/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-458bb322e4017a02b4296804b955e432_l3.png)
であることから、をtで2回微分します。
t=0を代入すると
となることから、V[X]は次のように計算できます。