Step2. 中級編
2. 確率分布

2-4. 歪度と尖度

3-5. 歪度と尖度で分布の形状を評価する「歪度」と「尖度」について学びました。歪度は分布の歪みの指標であり、分布が左右対称であるかどうかを知ることができます。一方、尖度は裾の重さ（広がり）の指標です。データの分布や裾についての詳細は2-2. ヒストグラムをご覧ください。

■歪度

歪度は「平均値まわりの3次のモーメント」を $\sigma^3$ で割ったものです。確率変数 $X$ の平均値を $\mu$ 、分散を $\sigma^2$ とすると、歪度は次の式から求めることができます。

$\displaystyle skewness = \frac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3}$

分布が左右対称の場合、 $E[(X-\mu)^3] = 0$ となります。したがって、歪度＝0となります。

「右裾が長い」分布の場合、平均 $\mu$ より大きく正に離れた値があるため $E[(X-\mu)^3] > 0$ となります。したがって、歪度は正の値を取ります。

「左裾が長い」分布の場合、平均 $\mu$ より大きく負に離れた値があるため $E[(X-\mu)^3] < 0$ となります。したがって、歪度は負の値を取ります。

分布が左右対称の場合に歪度＝0となることを、正規分布を使って確認してみます。正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ のモーメント母関数は次のようになります。

$\displaystyle M_X(t) = e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}}$

ここでは計算を簡単にするため、 $\mu = 0$ の正規分布 $N(0, \sigma^2)$ を考えます。上の式から、 $\mu = 0$ の正規分布 $N(0, \sigma^2)$ のモーメント母関数は

$\displaystyle M_X(t) = e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}}$

となります。この式をtで1回微分をすると

$\displaystyle M'_X(t) = \sigma^2 t e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}}$

となります。tで2回微分をすると

$\displaystyle M''_X(t) = \sigma^2 (e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}} + \sigma^2 t^2 e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}})$

となります。tで3回微分をすると

$\displaystyle M'''_X(t) = \sigma^4 (3t e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}} + \sigma^2 t^3 e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}})$

となります。この式に $t = 0$ を代入すると、次の式が導出されます。

$\displaystyle M'''_X(0) =　E[X^3] = 0$

したがって、 $\mu = 0$ の正規分布 $N(0, \sigma^2)$ の歪度は0になります。

$\displaystyle skewness = \frac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3} = \frac{E[(X-0)^3]}{\sigma^3} = \frac{E[X^3]}{\sigma^3} = \frac{0}{\sigma^3} = 0$

■尖度

尖度は「平均値まわりの4次のモーメント」を $\sigma^4$ で割ったものです。確率変数 $X$ の平均値を $\mu$ 、分散を $\sigma^2$ とすると、尖度は次の式から求めることができます。

$\displaystyle kurtosis = \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4}$

尖度は必ず0以上になります。正規分布の場合（最小値）は尖度＝3となり、3より大きいかどうかで分布の裾の重さを評価します。そのため、次の式を使って、正規分布の尖度＝0を基準とする場合の尖度を計算する場合があります。

$\displaystyle kurtosis = \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} -3$

「裾が重い」分布の場合、平均 $\mu$ より大きく離れた値が多いことから、 $\sigma$ はより大きな値を取ります。したがって、正規分布の尖度＝3を基準とする場合は尖度はより小さな値を取り、正規分布の尖度＝0を基準とする場合は尖度は負の値を取ります。

「裾が軽い」分布の場合、平均 $\mu$ より大きく離れた値が少ないことから、 $\sigma$ はより小さな値を取ります。したがって、正規分布の尖度＝3を基準とする場合は尖度はより大きな値を取り、正規分布の尖度＝0を基準とする場合は尖度は正の値を取ります。

正規分布の場合に尖度＝3となることを確認してみます。歪度の計算で用いた、 $\mu = 0$ の正規分布 $N(0, \sigma^2)$ のモーメント母関数をtで4回微分をすると

$\displaystyle M''''_X(t) = \sigma^4 (3e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}} + 6\sigma^2t^2e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}} + \sigma^4 t^4 e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}})$

となります。この式に $t = 0$ を代入すると、次の式が導出されます。

$\displaystyle M'''_X(0) =　E[X^4] = 3\sigma^4$

となります。したがって、 $\mu = 0$ の正規分布 $N(0, \sigma^2)$ の尖度は3になります。

$\displaystyle kurtosis = \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} = \frac{E[(X-0)^4]}{\sigma^4} = \frac{E[X^4]}{\sigma^4} = \frac{3\sigma^4}{\sigma^4} = 3$

2-4. 歪度と尖度

■歪度

■尖度

2. 確率分布

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2-4. 歪度と尖度

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