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  • Step2. 中級編
  • 2. 確率分布

2-4. 歪度と尖度


3-5. 歪度と尖度で分布の形状を評価する「歪度」と「尖度」について学びました。歪度は分布の歪みの指標であり、分布が左右対称であるかどうかを知ることができます。一方、尖度は裾の重さ(広がり)の指標です。

■歪度

歪度は「平均値まわりの3次のモーメント」を\sigma^3で割ったものです。確率変数Xの平均値を\mu、分散を\sigma^2とすると、歪度は次の式から求めることができます。

 \displaystyle skewness = \frac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3}

分布が左右対称の場合、E[(X-\mu)] = 0となることから、E[(X-\mu)^3] = 0となります。したがって、歪度=0となります。

「右裾が長い」分布の場合、平均\muより大きく正に離れた値があるためE[(X-\mu)] > 0となることから、E[(X-\mu)^3] > 0となります。したがって、歪度は正の値を取ります。

「左裾が長い」分布の場合、平均\muより大きく負に離れた値があるためE[(X-\mu)] < 0となることから、E[(X-\mu)^3] < 0となります。したがって、歪度は負の値を取ります。



分布が左右対称の場合に歪度=0となることを、正規分布を使って確認してみます。正規分布 N(\mu, \sigma^2) のモーメント母関数は次のようになります。

 \displaystyle M_X(t) = e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}}

ここでは計算を簡単にするため、\mu = 0 の正規分布 N(0, \sigma^2) を考えます。上の式から、\mu = 0 の正規分布 N(0, \sigma^2) のモーメント母関数は

 \displaystyle M_X(t) = e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}}

となります。この式をtで1回微分をすると

 \displaystyle M'_X(t) = \sigma^2 t e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}}

となります。tで2回微分をすると

 \displaystyle M''_X(t) = \sigma^2 (e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}} + \sigma^2 t^2 e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}})

となります。tで3回微分をすると

 \displaystyle M'''_X(t) = \sigma^4 (3t e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}} + \sigma^2 t^3 e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}})

となります。この式に t = 0 を代入すると、次の式が導出されます。

 \displaystyle M'''_X(0) = E[X^3] = 0

したがって、\mu = 0 の正規分布 N(0, \sigma^2) の歪度は0になります。

 \displaystyle skewness = \frac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3} = \frac{E[(X-0)^3]}{\sigma^3} = \frac{E[X^3]}{\sigma^3} = \frac{0}{\sigma^3} = 0

■尖度

尖度は「平均値まわりの4次のモーメント」を\sigma^4で割ったものです。確率変数Xの平均値を\mu、分散を\sigma^2とすると、歪度は次の式から求めることができます。

 \displaystyle kurtosis = \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4}

尖度は必ず0以上になります。正規分布の場合(最小値)は尖度=3となり、3より大きいかどうかで分布の裾の重さを評価します。そのため、次の式を使って、正規分布の尖度=0を基準とする場合の尖度を計算する場合があります。

 \displaystyle kurtosis = \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} -3

「裾が重い」分布の場合、平均\muより大きく離れた値が多いことから、E[(X-\mu)^4] はより大きな値を取ります。したがって、正規分布の尖度=3を基準とする場合は尖度はより大きな値を取り、正規分布の尖度=0を基準とする場合は尖度は正の値を取ります。

「裾が軽い」分布の場合、平均\muより大きく離れた値が少ないことから、E[(X-\mu)^4] はより小さな値を取ります。したがって、正規分布の尖度=3を基準とする場合は尖度はより小さな値を取り、正規分布の尖度=0を基準とする場合は尖度は負の値を取ります。



正規分布の場合に尖度=3となることを確認してみます。歪度の計算で用いた、\mu = 0 の正規分布 N(0, \sigma^2) のモーメント母関数をtで4回微分をすると

 \displaystyle M''''_X(t) = \sigma^4 (3e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}} + 6\sigma^2t^2e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}} + \sigma^4 t^4 e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}})

となります。この式に t = 0 を代入すると、次の式が導出されます。

 \displaystyle M'''_X(0) = E[X^4] = 3\sigma^4

となります。したがって、\mu = 0 の正規分布 N(0, \sigma^2) の歪度は3になります。

 \displaystyle kurtosis = \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} = \frac{E[(X-0)^4]}{\sigma^4} = \frac{E[X^4]}{\sigma^4} = \frac{3\sigma^4}{\sigma^4} = 3

2. 確率分布


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