- Step2. 中級編
- 2. 確率分布
2-4. 歪度と尖度
3-5. 歪度と尖度で分布の形状を評価する「歪度」と「尖度」について学びました。歪度は分布の歪みの指標であり、分布が左右対称であるかどうかを知ることができます。一方、尖度は裾の重さ(広がり)の指標です。データの分布や裾についての詳細は2-2. ヒストグラムをご覧ください。
■歪度
歪度は「平均値まわりの3次のモーメント」をで割ったものです。確率変数
の平均値を
、分散を
とすると、歪度は次の式から求めることができます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle skewness = \frac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ba378084db97df119ff8300e57b9f77_l3.png)
分布が左右対称の場合、となります。したがって、歪度=0となります。
「右裾が長い」分布の場合、平均より大きく正に離れた値があるため
となります。したがって、歪度は正の値を取ります。
「左裾が長い」分布の場合、平均より大きく負に離れた値があるため
となります。したがって、歪度は負の値を取ります。
![](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/uploads/2022/08/795316b92fc766b0181f6fef074f03fa-3.png)
分布が左右対称の場合に歪度=0となることを、正規分布を使って確認してみます。正規分布 のモーメント母関数は次のようになります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle M_X(t) = e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-50d781c450935fef199b330ba6494337_l3.png)
ここでは計算を簡単にするため、 の正規分布
を考えます。上の式から、
の正規分布
のモーメント母関数は
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle M_X(t) = e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-620b24c448e6495af8f54cfc94dd9970_l3.png)
となります。この式をtで1回微分をすると
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle M'_X(t) = \sigma^2 t e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f883a322772d2086acdf01e865e4cf08_l3.png)
となります。tで2回微分をすると
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle M''_X(t) = \sigma^2 (e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}} + \sigma^2 t^2 e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}})](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dd9964b36d72d0f6d852af1c663e98a7_l3.png)
となります。tで3回微分をすると
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle M'''_X(t) = \sigma^4 (3t e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}} + \sigma^2 t^3 e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}})](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3bbb47dc22e3564f893bd9d037e95a5a_l3.png)
となります。この式に を代入すると、次の式が導出されます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle M'''_X(0) = E[X^3] = 0](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b14106fe56e410d41fe725e3f2e99475_l3.png)
したがって、 の正規分布
の歪度は0になります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle skewness = \frac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3} = \frac{E[(X-0)^3]}{\sigma^3} = \frac{E[X^3]}{\sigma^3} = \frac{0}{\sigma^3} = 0](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ee0af339f5624db0a9719cd40c81b50c_l3.png)
■尖度
尖度は「平均値まわりの4次のモーメント」をで割ったものです。確率変数
の平均値を
、分散を
とすると、尖度は次の式から求めることができます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle kurtosis = \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2d6996faa421d532ced48848ab278b98_l3.png)
尖度は必ず0以上になります。正規分布の場合(最小値)は尖度=3となり、3より大きいかどうかで分布の裾の重さを評価します。そのため、次の式を使って、正規分布の尖度=0を基準とする場合の尖度を計算する場合があります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle kurtosis = \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} -3](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1bce13fef8ba5900e0ca18a47c31ce1f_l3.png)
「裾が重い」分布の場合、平均より大きく離れた値が多いことから、
はより大きな値を取ります。したがって、正規分布の尖度=3を基準とする場合は尖度はより小さな値を取り、正規分布の尖度=0を基準とする場合は尖度は負の値を取ります。
「裾が軽い」分布の場合、平均より大きく離れた値が少ないことから、
はより小さな値を取ります。したがって、正規分布の尖度=3を基準とする場合は尖度はより大きな値を取り、正規分布の尖度=0を基準とする場合は尖度は正の値を取ります。
![](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/uploads/2022/08/795316b92fc766b0181f6fef074f03fa-5.png)
正規分布の場合に尖度=3となることを確認してみます。歪度の計算で用いた、 の正規分布
のモーメント母関数をtで4回微分をすると
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle M''''_X(t) = \sigma^4 (3e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}} + 6\sigma^2t^2e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}} + \sigma^4 t^4 e^{\frac{\sigma^2 t^2}{2}})](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cfc00ffbaaf18ebf9831f04d03f40055_l3.png)
となります。この式に を代入すると、次の式が導出されます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle M'''_X(0) = E[X^4] = 3\sigma^4](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a750787a3a52a968cb0f8c13a7136db8_l3.png)
となります。したがって、 の正規分布
の尖度は3になります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle kurtosis = \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} = \frac{E[(X-0)^4]}{\sigma^4} = \frac{E[X^4]}{\sigma^4} = \frac{3\sigma^4}{\sigma^4} = 3](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3d7e20afc78a4d3de0488288b742d2b_l3.png)