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  • Step2. 中級編
  • 2. 確率分布

2-5. チェビシェフの不等式


■チェビシェフの不等式とは?

チェビシェフの不等式とは確率変数Xが、平均\mu、分散\sigma^2の確率分布に従うとき、次の式で与えられる不等式のことです。

 \displaystyle P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}

ただし、kは任意の値を表します。また、チェビシェフの不等式はどのような確率分布の確率変数Xにおいても成り立ちます。


■チェビシェフの不等式の使い方1

E(X)=3V(X)=1である確率分布について考えます。この確率分布において1 \geq X もしくは 5 \leq Xとなる確率を、チェビシェフの不等式を使って求めてみます。

 \displaystyle \Leftrightarrow P(1 \geq X, 5 \leq X) \\ \Leftrightarrow P(1-\mu \geq X-\mu, 5-\mu \leq X-\mu) \\ \Leftrightarrow P(-2 \geq X-\mu, 2 \leq X-\mu) \\ \Leftrightarrow P(|X-\mu| \geq 2) \\

となる確率を求めればよいことが分かります。ここで、チェビシェフの不等式を用います。

 \displaystyle P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \\

\mu=3\sigma=\sqrt{1}=1であることから

 \displaystyle P(|X-3| \geq \sqrt{1}k) \leq \frac{1}{k^2} \\ \Leftrightarrow P(|X-3| \geq k) \leq \frac{1}{k^2} \\

が成り立ちます。これらの式からk=2であることが分かるので、

 \displaystyle P(|X-3| \geq k) \leq \frac{1}{k^2} \\ \Leftrightarrow P(|X-3| \geq 2) \leq \frac{1}{2^2} \\ \Leftrightarrow P(|X-3| \geq 2) \leq \frac{1}{4} \\

となります。すなわち、1 \geq X もしくは 5 \leq Xとなる確率は \displaystyle \frac{1}{4} 以下であると考えられます。


■チェビシェフの不等式の使い方2

E(X)=10V(X)=2である確率分布について考えます。この確率分布において5 \leq X \leq 15となる確率を、チェビシェフの不等式を使って求めてみます。

 \displaystyle \Leftrightarrow P(5 \leq X \leq 15) \\ \Leftrightarrow P(5-\mu \leq X-\mu \leq 15-\mu) \\ \Leftrightarrow P(-5 \leq X-\mu \leq 5) \\ \Leftrightarrow P(|X-\mu| \leq 5) \\

となる確率を求めればよいことが分かります。ここで、チェビシェフの不等式を用います。不等号の向きに注意して、

 \displaystyle P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \\ \Leftrightarrow P(|X-\mu| \leq k\sigma) \geq 1-\frac{1}{k^2} \\

の式を使います。\mu=10\sigma=\sqrt{2}であることから

 \displaystyle P(|X-10| \leq \sqrt{2}k) \geq 1-\frac{1}{k^2}

が成り立ちます。これらの式から\sqrt{2}k=5 \Leftrightarrow \displaystyle k=\frac{5}{\sqrt{2}}を用いて

 \displaystyle P(|X-10| \leq \sqrt{2}k) \geq 1-\frac{1}{k^2} \\ \Leftrightarrow P(|X-10| \leq 5) \geq 1-\frac{1}{\{\frac{5}{\sqrt{2}}\}^2} = \frac{21}{25} \\

となります。すなわち、5 \leq X \leq 15となる確率は \displaystyle \frac{21}{25} 以上であると考えられます。


■チェビシェフの不等式の証明(離散型確率変数の場合)

離散型確率変数の分散は次の式で計算できます。

 \displaystyle \sigma^2 = \sum_{i=1}{(x_i-\mu)^2f(x_i)}

この式を次のように展開します。

     \begin{eqnarray*} \displaystyle \sigma^2 &=& \sum_{i=1}{(x_i-\mu)^2f(x_i)} \\ &=& \sum_{|x_i-\mu| < k\sigma}{(x_i-\mu)^2f(x_i)} + \sum_{|x_i-\mu| \geq k\sigma}{(x_i-\mu)^2f(x_i)} \\ \Leftrightarrow \sigma^2 &\geq& \sum_{|x_i-\mu| \geq k\sigma}{(x_i-\mu)^2f(x_i)} \end{eqnarray*}

ここで、|x_i-\mu| \geq k\sigmaより(x_i-\mu)^2 \geq (k\sigma)^2であることから

     \begin{eqnarray*} \displaystyle  \sigma^2 &\geq& \sum_{|x_i-\mu| \geq k\sigma}{(x_i-\mu)^2f(x_i)} \\  &\geq& \sum_{|x_i-\mu| \geq k\sigma}{(k\sigma)^2f(x_i)} \\ &=& k^2 \sigma^2 \sum_{|x_i-\mu| \geq k\sigma}{f(x_i)} \\ &=& k^2 \sigma^2 P(|x_i-\mu| \geq k\sigma) \end{eqnarray*}

となります。両辺をk^2\sigma^2で割ると、

     \begin{eqnarray*} \displaystyle \frac{1}{k^2\sigma^2} \times \sigma^2 &\geq& \frac{1}{k^2\sigma^2} \times k^2 \sigma^2 P(|x_i-\mu| \geq k\sigma) \\ \Leftrightarrow \frac{1}{k^2} &\geq& P(|x_i-\mu| \geq k\sigma) \end{eqnarray*}

となります。


■チェビシェフの不等式の証明(連続型確率変数の場合)

連続型確率変数の分散は次の式で計算できます。

 \displaystyle \sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty}{(x_i-\mu)^2f(x_i)}

この式を次のように展開します。

     \begin{eqnarray*} \displaystyle \sigma^2 &=& \int_{-\infty}^{\infty}{(x_i-\mu)^2f(x_i)} \\ &=& \int_{-\infty}^{|x_i-\mu| < k\sigma}{(x_i-\mu)^2f(x_i)} + \int_{|x_i-\mu| \geq k\sigma}^{\infty}{(x_i-\mu)^2f(x_i)} \\ \Leftrightarrow \sigma^2 &\geq& \int_{|x_i-\mu| \geq k\sigma}^{\infty}{(x_i-\mu)^2f(x_i)} \end{eqnarray*}

ここで、|x_i-\mu| \geq k\sigmaより(x_i-\mu)^2 \geq (k\sigma)^2であることから

     \begin{eqnarray*} \displaystyle \sigma^2 &\geq& \int_{|x_i-\mu| \geq k\sigma}^{\infty}{(x_i-\mu)^2f(x_i)} \\ &\geq& \int_{|x_i-\mu| \geq k\sigma}^{\infty}{(k\sigma)^2f(x_i)} \\ &=& k^2 \sigma^2 \int_{|x_i-\mu| \geq k\sigma}^{\infty}{f(x_i)} \\ &=& k^2 \sigma^2 P(|x_i-\mu| \geq k\sigma) \end{eqnarray*}

となります。離散型確率変数のときと同様に両辺をk^2\sigma^2で割ると、

     \begin{eqnarray*} \displaystyle \frac{1}{k^2\sigma^2} \times \sigma^2 &\geq& \frac{1}{k^2\sigma^2} \times k^2 \sigma^2 P(|x_i-\mu| \geq k\sigma) \\ \Leftrightarrow \frac{1}{k^2} &\geq& P(|x_i-\mu| \geq k\sigma) \end{eqnarray*}

となります。


2. 確率分布


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