- Step1. 基礎編
- 15. いろいろな確率分布3
15-1. 指数分布
■指数分布
指数分布は連続型確率分布の一つで、機械が故障してから次に故障するまでの期間や、災害が起こってから次に起こるまでの期間のように、次に何かが起こるまでの期間が従う分布です。ある期間に平均して(ラムダ)回起こる現象が、次に起こるまでの期間
が指数分布に従うとき、
となる確率密度関数
は次の式で表されます。
は指数分布のパラメータであり、必ず正の値をとります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle f(x) = \begin{cases} \lambda e^{- \lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0\end{cases}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-141fe1ae10445a3a1547c2ed647ae980_l3.png)
確率変数が指数分布に従っている時、「
」と書きます。また、
の期待値
と分散
は次のようになります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle E(X)= \frac{1}{ \lambda }](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-27d4771420e3a3a119e304f4ef21185d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle V(X)= \frac{1}{ \lambda ^{2} }](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-94bf7a1e9f7879b24f167eb7e53aa828_l3.png)
例えば、1時間に平均10人が来客するお店に、ある客が来てから次の客が来るまでの時間が5分となる確率密度を求めてみます。まず「時間」と「分」の単位を揃えるために5分を「1/12時間」とします。また、この例では=10です。この
=1/12と
=10を確率密度関数
に代入すると、次のようになります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle f(1/12)= \lambda e^{- \lambda x} = 10 \times e^{- 10 \times 1/12} = 4.35](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a64ab5cffbced34c18700b47c9300941_l3.png)
※この計算は、関数電卓もしくはExcelなどを使って行ってください。
■指数分布のグラフ
同様の計算を行い、次の客が来るまでの時間が0分から60分となる場合の確率密度を表にまとめました。
次に客が来るまでの時間![]() |
そのときの確率密度 | |
分 | 時間 | |
0 | 0.000 | 10.0 |
5 | 1/12 | 4.35 |
10 | 1/6 | 1.89 |
15 | 1/4 | 0.821 |
20 | 1/3 | 0.357 |
30 | 1/2 | 0.067 |
45 | 3/4 | 0.006 |
60 | 1 | 0.000 |
この表からグラフを描くと次のようになります。横軸はを、縦軸は確率密度を表します。
![図1](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/uploads/2016/09/795316b92fc766b0181f6fef074f03fa.png)
次に、さまざまな指数分布の形を見てみます。前述の例は=10の指数分布を表したものでしたが、
の値を0.1、0.5、1、2、5にした場合の指数分布は次のようになります。
![図2](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/uploads/2016/09/2b530e80c7d0de90885e285c5d798063.png)
■指数分布の使い方
累積分布関数は確率密度関数
を用いて算出できることは、12-1章で既に学びました。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle F(x)=P(X \leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-151ee659b8683bd084387fc3de11b7a2_l3.png)
ただし、は指数分布に従う確率変数
の確率密度関数を表します。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle f(t)= \lambda e^{- \lambda t} ~~~( t \geq 0)](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e86066658ddba0cdcf53601a7b0d007_l3.png)
ある期間に平均して回起こる現象が次に起こるまでの期間を
としたとき、「期間
が
以下となる確率」、すなわち、「
までの累積分布関数
」は次のようになります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle F(x)=P(X \leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}\lambda e^{- \lambda t}dt=1-e^{- \lambda x}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-13a71e25092da3428245769d1f820682_l3.png)
例題:
1時間に平均10人が来るお店に、ある客が来てから次の客が来るまでの時間が5分以内である確率はいくらでしょうか。
![図3](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/uploads/2016/09/c8856789ec11ab8b1013037cef6929f9.png)
まずは単位を揃えます。5分=1/12時間なので、「次の客が来るまでの時間=1/12時間以下となる確率」を求めます。問題文から
=10です。
に
と
の値を代入して計算すると約57%であることが分かります。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle F(1/12)=P(X \leq 1/12)=1-e^{-10 \times (1/12)}=0.565](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3182af49274581441fbfab16d4a4564a_l3.png)
【コラム】指数分布とポアソン分布
指数分布は、13-3章で学んだポアソン分布と非常に似ていますが、ポアソン分布は「ある期間に平均して回起こる現象が、ある期間にちょうど
回起きる確率の分布」のことです。
![図4](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/uploads/2016/09/3a4f695a458cb0ac0aceaa2eb13ac2dd.png)
■おすすめ書籍
演習に力を入れたい方はこちらをどうぞ。統計検定®2級対策本としてよく名前があがる本の1つです。
15. いろいろな確率分布3
事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -
- 9. 確率と期待値
9-6. 期待値
- 6. 分散と標準偏差
6-1. 分散
- 12. 累積分布関数と確率変数の期待値・分散
12-1. 累積分布関数とは
- 12. 累積分布関数と確率変数の期待値・分散
12-3. 確率変数の期待値
- 12. 累積分布関数と確率変数の期待値・分散
12-5. 確率変数の分散
- 13. いろいろな確率分布1
13-3. ポアソン分布