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  • 15. いろいろな確率分布3

15-1. 指数分布

■指数分布

指数分布は連続型確率分布の一つで、機械が故障してから次に故障するまでの期間や、災害が起こってから次に起こるまでの期間のように、次に何かが起こるまでの期間が従う分布です。ある期間に平均して\lambda(ラムダ)回起こる現象が、次に起こるまでの期間Xが指数分布に従うとき、X=xとなる確率密度関数f(x)は次の式で表されます。\lambdaは指数分布のパラメータであり、必ず正の値をとります。

 \displaystyle f(x)= \lambda  e^{- \lambda  x}

確率変数Xが指数分布に従っている時、「X \sim Ex(\lambda)」と書きます。また、X期待値E(X)分散V(X)は次のようになります。

 \displaystyle E(X)= \frac{1}{ \lambda }
 \displaystyle V(X)= \frac{1}{ \lambda ^{2} }

例えば、1時間に平均10人が来客するお店に、ある客が来てから次の客が来るまでの時間が5分となる確率密度を求めてみます。まず「時間」と「分」の単位を揃えるために5分を「1/12時間」とします。また、この例では\lambda=10です。このx=1/12と\lambda=10を確率密度関数f(x)= \lambda e^{- \lambda x}に代入すると、次のようになります。

 \displaystyle f(1/12)= \lambda  e^{- \lambda  x} = 10 \times e^{- 10 \times  1/12} = 4.35

■指数分布のグラフ

同様の計算を行い、次の客が来るまでの時間が0分から60分となる場合の確率密度を表にまとめました。

次に客が来るまでの時間(x) そのときの確率密度
時間
0 0.000 10.0
5 1/12 4.35
10 1/6 1.89
15 1/4 0.821
20 1/3 0.357
30 1/2 0.067
45 3/4 0.006
60 1 0.000

この表からグラフを描くと次のようになります。横軸はxを、縦軸は確率密度を表します。

図1

次に、さまざまな指数分布の形を見てみます。前述の例は\lambda=10の指数分布を表したものでしたが、\lambdaの値を0.1、0.5、1、2、5にした場合の指数分布は次のようになります。

図2

■指数分布の使い方

累積分布関数F(x)は確率密度関数f(t)を用いて算出できることは、12-1章で既に学びました。

 \displaystyle F(x)=P(-\infty \leq X \leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt

ただし、f(t)は指数分布に従う確率変数Xの確率密度関数を表します。

 \displaystyle f(t)= \lambda  e^{- \lambda  t}

ある期間に平均して\lambda回起こる現象が次に起こるまでの期間をXとしたとき、「期間Xx以下となる確率」、すなわち、「xまでの累積分布関数F(x)」は次のようになります。

 \displaystyle F(x)=P(X \leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{-\infty}^{x}\lambda  e^{- \lambda  t}dt=1-e^{- \lambda x}~~~(x \geq 0)

例題:

1時間に平均10人が来るお店に、ある客が来てから次の客が来るまでの時間が5分以内である確率はいくらでしょうか。

図3

まずは単位を揃えます。5分=1/12時間なので、「次の客が来るまでの時間t=1/12時間以下となる確率」を求めます。問題文から\lambda=10です。F(t)=P(X \leq t)=1-e^{-\lambda t}t\lambdaの値を代入して計算すると約57%であることが分かります。

 \displaystyle F(1/12)=P(X \leq 1/12)=1-e^{-10 \times (1/12)}=0.565

【コラム】指数分布とポアソン分布

指数分布は、13-3章で学んだポアソン分布と非常に似ていますが、ポアソン分布は「ある期間に平均して\lambda回起こる現象が、ある期間にちょうどX回起きる確率の分布」のことです。

図4

15. いろいろな確率分布3

事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -

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