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  • Step1. 初級編
  • 15. いろいろな確率分布3

15-3. 連続一様分布1

15-2章では離散一様分布について説明しましたが、この章では連続一様分布について説明します。確率変数Xがどのような値でも、その時の確率密度関数f(x)が一定の値をとる分布のことを連続一様分布といいます。コンピュータを使うと、連続一様分布の乱数を簡単に得ることが出来ます。確率変数Xa \leq X \leq bにおける連続一様分布に従うとき、確率密度関数は次のように表します。

 \displaystyle f(x)=\frac {1}{b-a}~~~(a \leq X \leq b)
 \displaystyle f(x)=0~~~(X < a, X > b)

図1

例えば、確率変数Xa \leq X \leq bにおける連続一様分布に従うときについて考えてみます。a \leq X \leq bの範囲ではf(x)= \displaystyle \frac{1}{3-1} = \displaystyle \frac{1}{2}となり、それ以外の範囲ではf(x)=0となります。したがって、確率密度関数は次のようなグラフになります。

図2

Xが連続型の一様分布f(x)に従っている時、a \leq X \leq bにおける期待値E(X)分散V(X)は次のようになります。

 \displaystyle E(X)=\frac {a+b}{2}
 \displaystyle V(X)=\frac{(b-a)^{2}}{12}

■累積分布関数

確率密度関数f(t)が次の式で表される場合の累積分布関数F(x)を算出してみます。

 \displaystyle f(x)=\frac {1}{b-a}~~~(a \leq X \leq b)
 \displaystyle f(x)=0~~~(X < a, X > b)

図3

  • x < aのとき
  • -\infty \leq X < xでは、f(t)=0なのでF(x)=0となります。

     \displaystyle F(x)=P(-\infty \leq X \leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{-\infty}^{x}0dt=0
  • a \leq x < bのとき
  • 求める範囲は-\infty \leq X < xですが、-\infty \leq X < aではf(t)=0なのでF(x)=0となります。したがって、a \leq X \leq xの範囲のみを考えればよいことになります。

         \begin{eqnarray*} \displaystyle F(x)&=&P(-\infty \leq X \leq x)=P(a \leq X \leq x)=\int_{a}^{x}f(t)dt \\ &=&\int_{a}^{x} \frac{1}{b-a}dt= \frac{1}{b-a} \times (x-a) = \frac{x-a}{b-a} \end{eqnarray*}

  • x \ge  bのとき
  • X > bでは、f(t)=0なのでF(x)=0となります。したがって、a \leq X \leq bの範囲のみを考えればよいことになります。

         \begin{eqnarray*} \displaystyle F(x)&=&P(-\infty \leq X \leq x)=P(a \leq X \leq b)=\int_{a}^{b}f(t)dt \\ &=&\int_{a}^{b} \frac{1}{b-a}dt= \frac{1}{b-a} \times (b-a) = 1 \end{eqnarray*}

    確率変数Xがとる値xの範囲 累積分布関数F(x)
    x < a 0
    a \leq x < b \displaystyle \frac{x-a}{b-a}
    x \geq b 1

    図4

15. いろいろな確率分布3

事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -