14. いろいろな確率分布2

練習問題（14. いろいろな確率分布2）

日本人男性2人をランダムに選んで肩車をしてもらった時、身長はどのような分布となるか求めよ。ただし、日本人男性の肩までの身長は正規分布 $N(140,20)$ 、座高は正規分布 $N(100,10)$ に従うとし、肩車をした時の身長は（肩までの身長）+（座高）で計算できるものとする。

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下側の男性の肩までの身長を $X$ 、上側の男性の座高を $Y$ とすると、肩車をした身長は $X+Y$ の分布に従います。これは和の分布であり、XとYはどちらも正規分布に従うことから、 $X+Y$ もまた正規分布に従います。正規分布の再生性により、X+Yの分布は次のように計算できます。

$X \sim N(140,20) \hspace{5mm} , \hspace{5mm} Y \sim N(100,10)$

$X+Y \sim N(140+100,20+10)$

したがって、肩車した時の身長は平均240、分散30の正規分布 $N(240,30)$ に従います。

確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとき、 $Z$ が2以上となる確率 $P(Z \geq 2)$ を標準正規分布表から求めよ。

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答え閉じる: 標準正規分布表の使い方についての問題です。14-5章で示した標準正規分布表（上側確率についての標準正規分布表）には $Z$ がとる値が $z$ 以上となる確率 $P(Z \geq z)$ が示されています。この表から $z$ ＝2.00となる数値を探すと、「0.023」という値が得られます。したがって、答えは2.3％となります。

確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとき、 $Z$ が $z$ 以上となる確率 $P(Z \geq z)$ が10％となるような $z$ を標準正規分布表から求めよ。

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標準正規分布表のもう一つの使い方についての問題です。14-1章で示した標準正規分布表（上側確率についての標準正規分布表）から0.10に最も近い値を探し、その値に対応するzの値を読み取ったものが答えです。

表を探すと、0.1003が最も0.10に近い値であると読み取れます。次に、その値の行と列の表頭と表側を読み取ります。 $z$ ＝1.2の行の、0.08の列であることから、 $Z$ がとる値が $z$ ＝1.28以上となる確率が約0.10であることが分かります。

日本人男性の平均身長が正規分布 $N(172,{5.5}^2)$ に従うと仮定し、次の3つの割合を求めよ。

平均身長以下の人の割合
平均±1標準偏差の間に収まる人の割合
180cm以上となる人の割合

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標準化した値を使って、標準正規分布表からそれぞれの数値を読み取ります。基準化した値 $z$ は次の式から計算できます。

$z=\displaystyle \frac{X- 172}{5.5}$

1： $X$ ＝172として標準化すると、 $z=0$ となります。このとき、標準正規分布に従う $Z$ が0以上の値をとる確率 $P(Z \geq 0)$ は標準正規分布表より0.5です。 $Z$ が0以下の値をとる確率 $P(Z \leq 0)$ は余事象から $1-0.5=0.5$ と求められます。したがって、身長が正規分布に従うとき、平均身長以下の人は50%となります。

2：平均±1標準偏差となる身長は、それぞれ $172+5.5=177.5$ 、 $172-5.5=166.5$ となります。この値を標準化すると、 $z=1$ と $z=-1$ であることから、求める確率は $P(-1 \leq Z \leq 1)$ となります。標準正規分布は $Z=0$ に対して左右対称であることから、次のように変形することができます。

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{P(-1 \leq Z \leq 1)} \\ &=&P(-1 \leq Z \leq 0) +P(0 \leq Z \leq 1) \\ &=&2 \times P(0 \leq Z \leq 1)$

また、累積分布関数の性質から、 $P(0 \leq Z \leq 1)$ は次のように変形することができます。

$P(0 \leq Z \leq 1)=P(Z \geq 0) - P(Z \geq 1)$

標準正規分布表から、 $P(Z \geq 0)$ と $P(Z \geq 1)$ となる確率を読み取ると、それぞれ「0.5」、「0.1587」です。以上から、 $P(-1 \leq Z \leq 1)$ は次のように求められます。

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{P(-1 \leq Z \leq 1)} \\ &=&2P(0 \leq Z \leq 1) \\ &=&2 \left( P(Z \geq 0) - P(Z \geq 1) \right) \\ &=&2(0.5-0.1587)=0.6826 \end{eqnarray*}$