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  • 14. いろいろな確率分布2

練習問題(14. いろいろな確率分布2)

1

日本人男性2人をランダムに選んで肩車をしてもらった時、身長はどのような分布となるか求めよ。ただし、日本人男性の肩までの身長は正規分布N(140,20)、座高は正規分布N(100,10)に従うとし、肩車をした時の身長は(肩までの身長)+(座高)で計算できるものとする。

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下側の男性の肩までの身長をX、上側の男性の座高をYとすると、肩車をした身長はX+Yの分布に従います。これは和の分布であり、XとYはどちらも正規分布に従うことから、X+Yもまた正規分布に従います。正規分布の再生性により、X+Yの分布は次のように計算できます。

 X \sim N(140,20)  \hspace{5mm} , \hspace{5mm} Y \sim N(100,10)
 X+Y \sim N(140+100,20+10)

したがって、肩車した時の身長は平均240、分散30の正規分布N(240,30)に従います。

2

確率変数Zが標準正規分布N(0,1)に従うとき、Zが2以上となる確率P(Z \geq 2)を標準正規分布表から求めよ。

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標準正規分布表の使い方についての問題です。14-1章で示した標準正規分布表(上側確率についての標準正規分布表)にはZがとる値がz以上となる確率P(Z \geq z)が示されています。この表からz=2.00となる数値を探すと、「0.023」という値が得られます。したがって、答えは2.3%となります。

3

確率変数Zが標準正規分布N(0,1)に従うとき、Zz以上となる確率P(Z \geq z)が10%となるようなzを標準正規分布表から求めよ。

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標準正規分布表のもう一つの使い方についての問題です。14-1章で示した標準正規分布表(上側確率についての標準正規分布表)から0.10に最も近い値を探し、その値に対応するzの値を読み取ったものが答えです。

表を探すと、0.1003が最も0.10に近い値であると読み取れます。次に、その値の行と列の表頭と表側を読み取ります。z=1.2の行の、0.08の列であることから、Zがとる値がz=1.28以上となる確率が約0.10であることが分かります。

4

日本人男性の平均身長が標準正規分布N(172,{5.5}^2)に従うと仮定し、次の3つの割合を求めよ。

  1. 平均身長以下の人の割合
  2. 平均±1標準偏差の間に収まる人の割合
  3. 180cm以上となる人の割合

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標準化した値を使って、標準正規分布表からそれぞれの数値を読み取ります。基準化した値zは次の式から計算できます。

 z=\displaystyle \frac{X- 172}{5.5}

1:X=172として標準化すると、z=0となります。このとき、標準正規分布に従うZが0以上の値をとる確率P(Z \geq 0)は標準正規分布表より0.5です。Zが0以下の値をとる確率P(Z \leq 0)は余事象から1-0.5=0.5と求められます。したがって、身長が正規分布に従うとき、平均身長以下の人は50%となります。

2:平均±1標準偏差となる身長は、それぞれ172+5.5=177.5172-5.5=166.5となります。この値を標準化すると、z=1z=-1であることから、求める確率はP(-1 \leq Z \leq 1)となります。標準正規分布はZ=0に対して左右対称であることから、次のように変形することができます。

 \begin{eqnarray*} \lefteqn{P(-1 \leq Z \leq 1)} \\ &=&P(-1 \leq Z \leq 0) +P(0 \leq Z \leq 1) \\ &=&2 \times P(0 \leq Z \leq 1)

また、累積分布関数の性質から、P(0 \leq Z \leq 1)は次のように変形することができます。

 P(0 \leq Z \leq 1)=P(Z \geq 0) - P(Z \geq 1)

標準正規分布表から、P(Z \geq 0)P(Z \geq 1)となる確率を読み取ると、それぞれ「0.5」、「0.1587」です。以上から、P(-1 \leq Z \leq 1)は次のように求められます。

     \begin{eqnarray*} \lefteqn{P(-1 \leq Z \leq 1)} \\ &=&2P(0 \leq Z \leq 1) \\ &=&2 \left( P(Z \geq 0) - P(Z \geq 1) \right) \\ &=&2(0.5-0.1587)=0.6826 \end{eqnarray*}

日本人男性の身長が正規分布に従う場合、平均身長から1標準偏差の範囲におよそ70%の人がいることが分かりました。これは正規分布に関わる重要な性質で、覚えておくと便利です。

3:X=180として標準化すると、z=1.45となります。対応する値を標準正規分布表から読み取ると、「0.0735」です。したがって、180cm以上の高身長の男性は、全体の7.4%しかいないことが分かります。

5

ある模擬試験でA君の成績は英語79点、数学82点であった。

  1. 英語の平均点は85点、標準偏差は4点の正規分布に従うものとする。A君の成績は下からどれくらいの順位か。
  2. 数学では、A君の成績は上位約5%の順位であった。数学の標準偏差が10点であるとき、数学の平均点はどれくらいか。なお、数学の点数の分布は正規分布に従うものとする。

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1:英語の点数を標準化して、標準正規分布の上で考えます。標準化すると、

 \displaystyle \frac{79-85}{4}=-1.5

となります。標準正規分布は0を中心に左右対称なので、「-1.5」は「1.5」として考えることができます。「1.5」のところを見ると0.0668なのでA君の成績は下位0.0668、すなわち6.7%くらいであることが分かります。

2:標準正規分布表(上側確率)で「0.05(5%)」となるところは1.64なので、数学の平均点をx点とおくと、標準化の式は

 \displaystyle \frac{82-x}{10}=1.64

です。xを求めると、x≒66点となります。

14. いろいろな確率分布2

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