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  • Step1. 初級編
  • 14. いろいろな確率分布2

14-2. 正規分布の再生性と標準正規分布

■正規分布の再生性

正規分布N(\mu_{1}, {\sigma_{1}}^{2})に従うあるデータと、そのデータとは独立な正規分布N(\mu_{2}, {\sigma_2}^{2})に従うデータを足したデータは、正規分布N(\mu_{1}+\mu_{2}, \sigma_{1}}^{2}+\sigma_{2}}^{2})に従います。これを正規分布の再生性といいます。

例えば、あるクラスの数学と国語のテストの結果は次の通りでした。

  • 数学 平均点\mu_{1}60点 標準偏差\sigma_{1}4
  • 国語 平均点\mu_{2}40点 標準偏差\sigma_{2}5

このクラスの数学および国語の点数はそれぞれ異なる(独立な)正規分布に従うとき、数学と国都の点数を足した点数は、平均が\mu_{1}+\mu_{2}=60+40=100、分散が{\sigma_1}^{2}+{\sigma_2}^{2}=4^2+5^2=41の正規分布N(100, 41)に従います。

■標準正規分布

正規分布の中で、特に「平均\mu=0、分散\sigma^{2}=1」である正規分布を「標準正規分布」といいます。確率変数Xが標準正規分布に従う時、X\sim N(0,1)と書きます。

図1

正規分布に従う確率変数X確率密度関数f(x)の式は14-1章で既に学びました。この式に「\mu=0\sigma^{2}=1」を代入すると、次のようになります。

 \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\times 1}e^{-\frac{(x-0)^{2}}{2\times 1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}~~~(-\infty<x<\infty)

したがって、標準正規分布に従う確率変数Xの確率密度関数f(x)は次式で表せます。

 \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}~~~(-\infty<x<\infty)

あるいは「exp」を使うと次のように表すこともできます。

 \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp\left(-\frac{x^{2}}{2}}\right)~~~(-\infty<x<\infty)

次のグラフは標準正規分布を表したものです。平均\mu=0であることから、分布の山頂にあたるx軸座標の値は「0」です。

図2





14. いろいろな確率分布2

事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -

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