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  • Step1. 初級編
  • 14. いろいろな確率分布2

14-6. 標準正規分布の使い方2

例題:

あるクラスの試験結果は平均72.8点、標準偏差15点の正規分布に従っています。この時、70点から90点の人は何%いるでしょうか。

図1

この問題も標準正規分布を使って計算できます。ただし、次の流れで計算をする必要があります。

(i) 70点以上の人の割合を算出

(ii) 90点以上の人の割合を算出

(iii) (i)の割合から(ii)の割合を引いて、70点から90点の人の割合を算出

(i) 70点以上の人の割合を算出

「70点」を標準化します。

 \displaystyle \frac{70-72.8}{15}=-0.19

標準正規分布表には負の値はありませんが、標準正規分布はZ=0に対して左右対称なので、負の値「-0.19」は正の値「0.19」として考えます。統計数値表から「0.19」の値は「0.425」と読み取れます。

図2

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0 0.5 0.496 0.492 0.488 0.484 0.48 0.476 0.472 0.468 0.464
0.1 0.46 0.456 0.452 0.448 0.444 0.44 0.436 0.433 0.429 0.425
0.2 0.421 0.417 0.413 0.409 0.405 0.401 0.397 0.394 0.39 0.386
0.3 0.382 0.378 0.374 0.371 0.367 0.363 0.359 0.356 0.352 0.348
0.4 0.345 0.341 0.337 0.334 0.33 0.326 0.323 0.319 0.316 0.312
0.5 0.309 0.305 0.302 0.298 0.295 0.291 0.288 0.284 0.281 0.278

「0.425」は、次の図に示すように「標準正規分布に従うZがとる値が0.19以上となる確率P(Z \geq 0.19)」です。この確率は「Zがとる値が-0.19以下となる確率P(Z \leq -0.19)」と等しくなります。今求めたいのは70点以上となる確率、すなわちZがとる値が-0.19以上となる確率P(Z \geq -0.19)なので、次のグラフの白色部分の面積を求めます。

図3

x軸と標準正規分布で囲まれた部分の面積は1です。したがって1-0.425=0.575より、70点以上の人の割合は0.575と算出されます。

図4

(ii) 90点以上の人の割合を算出

「90点」を標準化します。

 \displaystyle \frac{90-72.8}{15}=1.15$

標準正規分布表の「1.15」の値を読み取ると「0.125」です。これはZがとる値が1.15より大きくなる確率P(Z \geq 1.15)、すなわち90点以上の人の割合です。

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0 0.5 0.496 0.492 0.488 0.484 0.48 0.476 0.472 0.468 0.464
0.1 0.46 0.456 0.452 0.448 0.444 0.44 0.436 0.433 0.429 0.425
0.2 0.421 0.417 0.413 0.409 0.405 0.401 0.397 0.394 0.39 0.386
0.3 0.382 0.378 0.374 0.371 0.367 0.363 0.359 0.356 0.352 0.348
0.4 0.345 0.341 0.337 0.334 0.33 0.326 0.323 0.319 0.316 0.312
0.5 0.309 0.305 0.302 0.298 0.295 0.291 0.288 0.284 0.281 0.278
0.6 0.274 0.271 0.268 0.264 0.261 0.258 0.255 0.251 0.248 0.245
0.7 0.242 0.239 0.236 0.233 0.23 0.227 0.224 0.221 0.218 0.215
0.8 0.212 0.209 0.206 0.203 0.2 0.198 0.195 0.192 0.189 0.187
0.9 0.184 0.181 0.179 0.176 0.174 0.171 0.169 0.166 0.164 0.161
1 0.159 0.156 0.154 0.152 0.149 0.147 0.145 0.142 0.14 0.138
1.1 0.136 0.133 0.131 0.129 0.127 0.125 0.123 0.121 0.119 0.117
1.2 0.115 0.113 0.111 0.109 0.107 0.106 0.104 0.102 0.1 0.099

図5

(iii) (i)の割合から(ii)の割合を引いて、70点から90点の人の割合を算出

最後に、次の図の橙色部分の確率P(-0.19 \leq Z \leq 1.15)を求めます。この確率は0.575-0.125=0.455と算出されます。したがって、答えは45.5%となります。

図6

14. いろいろな確率分布2

事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -