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  • Step1. 初級編
  • 14. いろいろな確率分布2

14-4. 標準正規分布表

累積分布関数F(x)確率密度関数f(t)を用いて算出できることは12-1章で既に学びました。

 \displaystyle F(x)=P(-\infty \leq X \leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt~~~\cdots A

f(t)標準正規分布に従う確率変数Xの確率密度関数を表します。

 \displaystyle f(t)=\frac{1}{\sqrt{2π}}exp\left(-\frac{t^{2}}{2}\right)

例えばA式のxに-2を代入すると、確率変数Xのとる値が-2以下となる確率を算出できます。

     \begin{eqnarray*} \displaystyle F(-2)=P(-\infty \leq X \leq-2)&=&\int_{-\infty}^{-2}f(t)dt\\&=&\int_{-\infty}^{-2}\left\{\frac{1}{\sqrt{2π}} exp\left(-\frac{t^{2}}{2}\right)\right\}dt~~~\cdots B \end{eqnarray*}

B式を計算するとF(-2)\fallingdotseq 0.023となります。これは次に示す標準正規分布の水色部分の面積、すなわち標準正規分布においてx軸の値が-2以下となる確率が「0.023」であるということを意味します。

図1

B式を見ると分かるように、累積分布関数を計算するのは非常に面倒であるため、次の表のような「標準正規分布表」とよばれる統計数値表が用意されています。標準正規分布表には、標準正規分布におけるx軸の様々な値以上もしくは以下(zで表します)となる確率がまとめられています。

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
0 0.5 0.496 0.492 0.488 0.484 0.48
0.1 0.46 0.456 0.452 0.448 0.444 0.44
0.2 0.421 0.417 0.413 0.409 0.405 0.401
0.3 0.382 0.378 0.374 0.371 0.367 0.363
0.4 0.345 0.341 0.337 0.334 0.33 0.326
0.5 0.309 0.305 0.302 0.298 0.295 0.291

統計数値表には、標準正規分布表の他にt分布表・F分布表・カイ二乗分布表などいくつかの種類があります。これらの統計数値表も標準正規分布表と同様に、各々の分布におけるx軸の様々な値以上もしくは以下となる確率が示されています。データの分布に合わせた統計数値表を使用することで、複雑な計算をすること無く、ある分布における求めたい確率を得ることができます。

14. いろいろな確率分布2

事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -