Step1. 基礎編
14. いろいろな確率分布2

14-4. 標準正規分布表

累積分布関数 $F(x)$ は確率密度関数 $f(t)$ を用いて算出できることは12-1章で既に学びました。

$\displaystyle F(x)=P(-\infty \leq X \leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt~~~\cdots A$

$f(t)$ は標準正規分布に従う確率変数 $X$ の確率密度関数を表します。

$\displaystyle f(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp\left(-\frac{t^{2}}{2}\right)$

例えばA式の $x$ に-2を代入すると、確率変数 $X$ のとる値が-2以下となる確率を算出できます。

$\begin{eqnarray*} \displaystyle F(-2)=P(-\infty \leq X \leq-2)&=&\int_{-\infty}^{-2}f(t)dt\\&=&\int_{-\infty}^{-2}\left\{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp\left(-\frac{t^{2}}{2}\right)\right\}dt~~~\cdots B \end{eqnarray*}$

B式を計算すると $F(-2)\fallingdotseq 0.023$ となります。これは次に示す標準正規分布の水色部分の面積、すなわち標準正規分布において $x$ 軸の値が-2以下となる確率が「0.023」であるということを意味します。

B式を見ると分かるように、累積分布関数を計算するのは非常に面倒であるため、次の表のような「標準正規分布表」とよばれる統計数値表が用意されています。標準正規分布表には、標準正規分布における $x$ 軸の様々な値以上もしくは以下（ $z$ で表します）となる確率がまとめられています。

z	0	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	…
0	0.5	0.496	0.492	0.488	0.484	0.48	…
0.1	0.46	0.456	0.452	0.448	0.444	0.44	…
0.2	0.421	0.417	0.413	0.409	0.405	0.401	…
0.3	0.382	0.378	0.374	0.371	0.367	0.363	…
0.4	0.345	0.341	0.337	0.334	0.33	0.326	…
0.5	0.309	0.305	0.302	0.298	0.295	0.291	…
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統計数値表には、標準正規分布表の他に $t$ 分布表・ $F$ 分布表・カイ二乗分布表などいくつかの種類があります。これらの統計数値表も標準正規分布表と同様に、各々の分布における $x$ 軸の様々な値以上もしくは以下となる確率が示されています。データの分布に合わせた統計数値表を使用することで、複雑な計算をすること無く、ある分布における求めたい確率を得ることができます。