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  • Step1. 初級編
  • 25. さまざまな検定

25-3. ポアソン分布を用いた検定

例題:

1ヶ月に平均20件の自動車事故が起こる見通しの悪いT字路があります。この状況を改善するためにカーブミラーを設置した結果、この1年での事故数は200回になりました。カーブミラーの設置によって、事故発生の頻度は低下したと言えるでしょうか。

事故が起こるという事象は非常に稀な事象なので、1ヶ月で平均\lambda回の事故が起こる場所でx回の事故が起こる確率f(x)ポアソン分布に従います。

  1. 仮説を立てる
  2. 帰無仮説H_{0}は「このT字路では1ヶ月に20回事故が起こる」とします。したがって、対立仮説H_{1}は「このT字路では1ヶ月に20回事故が起こるとはいえない」となります。

  3. 有意水準を設定する
  4. \alpha=0.05とします。

  5. 適切な検定統計量を決める
  6. ポアソン分布Po(\lambda)の場合、Xを確率変数とするとき「期待値E(X)=分散V(X)=\lambda」が成り立つことは13-4章で既に学びました。したがって、サンプルサイズnが十分に大きい時には、次の式から得られる統計量zは標準正規分布N(0, 1)に従います。ここではXは1ヶ月あたりの事故数、nは調査を行ったポイント数を表します。

     \displaystyle z=\frac{X-\lambda}{\sqrt{\frac{\lambda}{n}}}
  7. 棄却ルールを決める
  8. この検定で使用する分布は「標準正規分布」になります。また、事故の発生が改善したか(事故の発生数が20回より少なくなったか)を確認したいので、片側検定を行います。統計数値表からZ_{0.05}の値を読み取ると「1.645」となっています。

  9. 検定統計量を元に結論を出す
  10. この例題は、1ヶ月単位での平均に対して1年、すなわち12個分のデータを取得した結果なのでn=12となります。1年での事故回数は200回だったことから、1ヶ月単位にするとX=200/12=16.67となります。また、\lambda=20です。これらの値を用いて統計量zを求めます。

     \displaystyle z=\frac{X-\lambda}{\sqrt{\frac{\lambda}{n}}}=\frac{16.67-20}{\sqrt{\frac{20}{12}}}=-2.579

    次の図は標準正規分布を表したものです。z=-2.579は図の矢印の部分に該当します。矢印は棄却域に入っていることから、「有意水準5%において帰無仮説を棄却し、対立仮説を採択する」という結果になります。つまり、「このT字路では1ヶ月に20回事故が起こるとはいえないので、カーブミラーによって自動車事故の発生数は改善された」と結論づけられます。

    図1

    
    
    
    
    
    

25. さまざまな検定

事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -

統計検定バナー 「統計学の時間」では、記事を最後まで読むことで、統計検定2級に合格する力が身につくことを目標としています。