Step1. 基礎編
28. 等分散性の検定とWelchのt検定

28-1. F分布

F分布は、自由度が $k_{1}$ 、 $k_{2}$ のカイ二乗分布 $\chi_{1}\sim \chi^{2} (k_{1})$ 、 $\chi_{2} \sim \chi^{2} (k_{2})$ が互いに独立である場合に、次の式から算出されるFが従う確率分布のことです。このときFは自由度( $k_{1}$ , $k_{2}$ )のF分布に従います。F分布はt分布やカイ二乗分布と同様、自由度によって形が異なる分布ですが、t分布やカイ二乗分布と異なり2つの自由度から分布の形が決まります。

$\displaystyle F=\frac{\chi_{1}^{2} / k_{1}}{\chi_{2}^{2} / k_{2}}$

自由度が $k_{1}$ と $k_{2}$ のとき、F分布の確率密度関数は次の式で表すことができます（ $x > 0$ ）。 $\Gamma()$ はガンマ関数、 $B()$ はベータ関数を表します。F分布の式は非常に複雑ですが、覚える必要はありません。

$\displaystyle f(x;k_{1},k_{2})=\frac{\Gamma(\frac{k_{1}+k_{2}}{2})x^{\frac{k_{1}-2}{2}}}{\Gamma( \frac{k_{1}}{2}) \Gamma(\frac{k_{2}}{2}) (1+\frac{k_{1}}{k_{2}}x)^{\frac{k_{1}+k_{2}}{2}}} \biggl(\frac{k_{1}}{k_{2}} \biggl)^{\frac{k_{1}}{2}}$

あるいは

$\displaystyle f(x;k_{1},k_{2})=\frac{1}{B(\frac{k_{1}}{2}, \frac{k_{2}}{2})} \biggl(\frac{k_{1}}{k_{2}} \biggl)^{\frac{k_{1}}{2}} \frac{x^{\frac{k_{1}-2}{2}}}{(1+\frac{k_{1}}{k_{2}}x)^{\frac{k_{1}+k_{2}}{2}}}}$

■F分布の実際の使い方

正規分布に従う2つの母集団が従う確率変数 $N(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2})$ 、 $N(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2})$ を考えます。これらの母集団からそれぞれサンプルサイズが $n_{1}$ , $n_{2}$ の標本を抽出したときの不偏分散をそれぞれ $s_{1}^{2}$ , $s_{2}^{2}$ とします。このときFを求める式には次の関係が成り立ちます。また、Fは自由度( $n_{1}-1$ , $n_{2}-1$ )のF分布に従います。

$\displaystyle F=\frac{\chi_{1}^{2} / k_{1} }{\chi_{2}^{2} / k_{2}}=\frac{s_{1}^{2} / \sigma_{1}^{2}}{s_{2}^{2} / \sigma_{2}^{2}}$

2つの母集団の母分散が等しいと仮定できるとき、上の式は

$\displaystyle F=\frac{\chi_{1}^{2} / k_{1} }{\chi_{2}^{2} / k_{2}}=\frac{s_{1}^{2} / \sigma_{1}^{2}}{s_{2}^{2} / \sigma_{2}^{2}} = \frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}$

となることから、Fは帰無仮説 $H_{0}$ を「2標本の母分散は等しい（ $\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}$ ）」とした場合に、2標本の不偏分散を用いて母分散が等しいかどうかを検定する「等分散性の検定」に使われます。等分散性の検定については28-3章で説明します。

■F分布の形

自由度を変化させた時のF分布の形を見てみます。次のグラフは自由度（ $k_{1}$ , $k_{2}$ ）（グラフ中ではdfで表示しています）が（1, 5）、（2, 5）、（3, 5）、（10, 5）、（10, 20）である場合のF分布（黒、赤、緑、青、水色、ピンク線）です。

■F分布の性質

期待値と分散
確率変数 $X$ が自由度(m, n)のF分布に従っている時、 $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ は次のようになります。

$\displaystyle E(X)=\frac{n}{n-2}~~~~(n>2)$

$\displaystyle V(X)=\frac{2n^{2} (m+n-2)}{m(n-2)^{2} (n-4)}~~~~(n>4)$
t分布とF分布の関係
標準正規分布N(0, 1)に従うZと自由度nのカイ二乗分布Wがあり、これらが互いに独立であるとき、次の式から算出されるtは自由度nのt分布に従います（20-1章）。
$\displaystyle t=\frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{n}}}$
上式の両辺を2乗すると、
$\displaystyle t^2=\frac{Z^2}{\frac{W}{n}}$
となりますが、自由度1のカイ二乗分布は標準正規分布に従う確率変数を2乗したものに等しくなるので（22-1章）、tが自由度のnのt分布に従うとき、 $t^2$ は自由度(1, n)のF分布に従います。