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  • 28. 等分散性の検定とWelchのt検定

練習問題(28. 等分散性の検定とWelchのt検定)

F分布表が必要な場合、下の表を用いてよい。

1

F分布表から、それぞれの自由度が(6,15)の場合の上側確率5%点の値を求めよ。

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自由度が(6, 15)の場合、横軸は1つ目の自由度である「6」の列を、縦軸が2つ目の自由度である「15」の行を参照します。縦軸と横軸が交わった部分の値が自由度(6, 15)のときに\alpha=0.05となるF値で、「2.790」であると読み取れます。

v2↓ v1→ 1 2 3 4 5 6 7
1 161.448 199.500 215.707 224.583 230.162 233.986 236.768
2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.330 19.353
3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887
4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094
5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876
10 4.965 4.103 3.708 3.478 3.326 3.217 3.135
15 4.543 3.682 3.287 3.056 2.901 2.790 2.707
20 4.351 3.493 3.098 2.866 2.711 2.599 2.514

2

分散未知の正規分布に従う2群からサンプリングし、次のような結果を得た。この2群の母分散は等しいと考えられるかを有意水準0.05で検定せよ。

項目 A群 B群
サンプルサイズ 11 8
不偏分散 1.03 4.30
分散 0.94 3.76

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等分散性の検定における帰無仮説は「二つの群の母分散は等しい」です。最初に検定統計量であるF統計量を求めます、F統計量は不偏分散の比となる事に注意してください。

 F= \displaystyle \frac{4.30}{1.03} =4.17...

分子の自由度は7、分母の自由度は10となるので、F(7,10)の2.5%点を表から読み取ります。\alpha=0.05の値ではなく、有意水準0.05を2で割った\alpha=0.025での値となるのがポイントです。この値は「3.950」でF統計量の方が大きいため、帰無仮説を棄却し「二つの群の母分散は等しくない」と結論付けられます。

3

分散未知の正規分布に従う2群からサンプリングし、次のような結果を得た。この2群の母分散は等しいと考えられるかを有意水準0.05で検定せよ。

項目 A群 B群
サンプルサイズ 6 8
分散 5.00 7.00

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等分散性の検定における帰無仮説は「二つの群の母分散は等しい」です。最初に検定統計量であるF統計量を求めます、F統計量は不偏分散の比となる事に注意してください。 しかし、不偏分散がなく分散しか与えられていないため、まず不偏分散を求める必要があります。分散\sigma ^2と不偏分散\nu ^2には次の関係が成立します。

 \displaystyle  \nu ^2 =\frac{n}{n-1} \sigma ^2

従って、分散を\frac{n}{n-1}倍すれば不偏分散を求められることが分かります。これを用いてF統計量を計算すると、次のようになります。

 F= \displaystyle \frac{\frac{8}{8-1}7.00}{\frac{6}{6-1}5.00} = \frac{8}{6}=1.33...

分子の自由度は7、分母の自由度は5となるので、F(7,5)の2.5%点を表から読み取ります。\alpha=0.05の値ではなく、有意水準0.05を2で割った\alpha=0.025での値となるのがポイントです。この値は「6.853」でF統計量の方が小さいため、帰無仮説は棄却できず「二つの群の母分散は等しくないとは言えない」と結論付けられます。

上側確率\alpha=0.05のF分布表

v_{2}v_{1} 1 2 3 4 5 6 7
1 161.448 199.500 215.707 224.583 230.162 233.986 236.768
2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.330 19.353
3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887
4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094
5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876
10 4.965 4.103 3.708 3.478 3.326 3.217 3.135
15 4.543 3.682 3.287 3.056 2.901 2.790 2.707
20 4.351 3.493 3.098 2.866 2.711 2.599 2.514
25 4.242 3.385 2.991 2.759 2.603 2.490 2.405
30 4.171 3.316 2.922 2.690 2.534 2.421 2.334

上側確率\alpha=0.025のF分布表

v_{2}v_{1} 1 2 3 4 5 6 7
1 647.789 799.500 864.163 899.583 921.848 937.111 948.217
2 38.506 39.000 39.165 39.248 39.298 39.331 39.355
3 17.443 16.044 15.439 15.101 14.885 14.735 14.624
4 12.218 10.649 9.979 9.605 9.364 9.197 9.074
5 10.007 8.434 7.764 7.388 7.146 6.978 6.853
10 6.937 5.456 4.826 4.468 4.236 4.072 3.950
15 6.200 4.765 4.153 3.804 3.576 3.415 3.293
20 5.871 4.461 3.859 3.515 3.289 3.128 3.007
25 5.686 4.291 3.694 3.353 3.129 3.969 2.848
30 5.568 4.182 3.589 3.250 3.026 2.867 2.746

28. 等分散性の検定とWelchのt検定