Step1. 基礎編
28. 等分散性の検定とWelchのt検定

28-3. 母分散の比の信頼区間の求め方

22-3章と22-4章ではカイ二乗分布を使って、母分散の信頼区間を求める方法について学びました。この章では、母分散の"比"の信頼区間の求め方について学びます。

28-1章で学んだように、確率変数が正規分布 $N(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2})$ と $N(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2})$ に従う2つの母集団からそれぞれサンプルサイズが $n_1$ 、 $n_2$ の標本を抽出したときの不偏分散をそれぞれ $s_1^2$ 、 $s_2^2$ とします。このとき、次の式から算出される統計量Fが自由度（ $n_{1}-1$ , $n_{2}-1$ ）のF分布に従うことを利用して母分散の比の信頼区間を算出します。

$\displaystyle F=\frac{s_{1}^{2} / \sigma_{1}^{2}}{s_{2}^{2} / \sigma_{2}^{2}}$

例題：

ある工場では、生産している部品AとBを1時間毎に1つ抜き取り、その重さを検査しています。計6個の部品Aの重さから算出した不偏分散は $s^2 = 5$ 、計11個の部品Bの重さから算出した不偏分散は $s^2 = 2.5$ でした。この結果から母分散の比（b/a）の95%信頼区間を求めてみます。

統計量Fを計算する

部品AとBの重さの不偏分散をそれぞれ $s^2_1$ 、 $s^2_2$ 、母分散をそれぞれ $\sigma^2_1$ 、 $\sigma^2_2$ とすると、次の式から統計量Fを求められます。

$\displaystyle F=\frac{s_{1}^{2} / \sigma_{1}^{2}}{s_{2}^{2} / \sigma_{2}^{2}}$

使用するF分布の自由度を決める

サンプルサイズは、部品Aが6、部品Bが11であることから自由度が（6-1, 11-1）=（5, 10）のF分布を用います。

統計量Fの値がF分布の95%の面積（＝確率）の範囲にあればいい（＝両端の2.5%の面積の部分の極端な範囲に入らなければいい）ので、F分布表から自由度（5, 10）における上側2.5%点を調べる

※確率変数 $X$ が自由度（ $k_{1}, k_{2}$ ）のF分布に従う時、その逆数である $\displaystyle \frac{1}{X}$ は自由度（ $k_{2}, k_{1}$ ）のF分布に従います。したがって、自由度（ $k_{1}, k_{2}$ ）のF分布における上側 $100\alpha\%$ 点の値が $F_{\alpha}(k_{1}, k_{2})$ のとき、自由度（ $k_{2}, k_{1}$ ）のF分布における下側 $100\alpha\%$ 点の値は $\displaystyle F_{1-\alpha}(k_{2}, k_{1}) = \frac{1}{F_{\alpha}(k_{1}, k_{2})}$ として算出できます。

【F分布表　 $\alpha=0.025$ 】

v2↓　v1→	1	2	3	4	5	6	7
1	647.789	799.500	864.163	899.583	921.848	937.111	948.217
2	38.506	39.000	39.165	39.248	39.298	39.331	39.355
3	17.443	16.044	15.439	15.101	14.885	14.735	14.624
4	12.218	10.649	9.979	9.605	9.364	9.197	9.074
5	10.007	8.434	7.764	7.388	7.146	6.978	6.853
10	6.937	5.456	4.826	4.468	4.236	4.072	3.950
15	6.200	4.765	4.153	3.804	3.576	3.415	3.293

統計数値表から $F_{0.025}(5, 10)$ の値を読み取ると「4.236」となっています。また、反対側の値は「 $F_{0.025}(10, 5)=6.619$ 」の逆数を取って「 $F_{0.975}(5, 10)=1/6.619=0.151$ 」となります。したがって、F分布において上側2.5%点は「 $F_{0.025}(5, 10)=4.236$ 」、下側2.5%点は「 $F_{0.975}(5, 10)=0.151$ 」であることから、 $\displaystyle \frac{s_{1}^{2} / \sigma_{1}^{2}}{s_{2}^{2} / \sigma_{2}^{2}}$ の範囲は次のように書けます。

$\displaystyle 0.151 \leq \frac{s_{1}^{2} / \sigma_{1}^{2}}{s_{2}^{2} / \sigma_{2}^{2}} \leq 4.236$

95%信頼区間を求める

3. の式に $s^2_1$ と $S^2_2$ の値を代入します。

$\displaystyle 0.151 \leq \frac{5 / \sigma^2_1}{2.5 / \sigma^2_2} \leq 4.236$

$\displaystyle 0.151 \leq \frac{5}{2.5} \times \frac{\sigma^2_2}{\sigma^2_1} \leq 4.236$

$\displaystyle 0.151 \leq 2 \times \frac{\sigma^2_2}{\sigma^2_1} \leq 4.236$

$\displaystyle \frac{0.151}{2} \leq \frac{\sigma^2_2}{\sigma^2_1} \leq \frac{4.236}{2}$

となるので、 $\displaystyle \frac{\sigma^2_2}{\sigma^2_1}$ の95%信頼区間を計算すると

$\displaystyle 0.076 \leq \frac{\sigma^2_2}{\sigma^2_1} \leq 2.118$

となります。

【まとめ】母分散の比の信頼区間

確率変数が正規分布 $N(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2})$ と $N(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2})$ に従う2つの母集団からそれぞれサンプルサイズが $n_1$ 、 $n_2$ の標本を抽出したときの不偏分散をそれぞれ $s_1^2$ 、 $s_2^2$ とすると、次の式から母分散の比 $\displaystyle \frac{\sigma^2_2}{\sigma^2_1}$ の $(100(1-\alpha))\%$ 信頼区間を求めることができる。ただし、「 $F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)$ 」は自由度が $(n_1-1, n_2-1)$ のF分布における上側確率が $\displaystyle \frac{\alpha}{2}$ となる値を、「 $F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)$ 」は下側確率が $\displaystyle \frac{\alpha}{2}$ となる値を示す。

$\displaystyle F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1) \times \frac{s^2_2}{s^2_1} \leq \frac{\sigma^2_2}{\sigma^2_1} \leq F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)} \times \frac{s^2_2}{s^2_1}$

ただし、この式は次の式と同義である。

$\displaystyle \frac{1}{F_{\alpha/2}(n_2-1, n_1-1)} \times \frac{s^2_2}{s^2_1} \leq \frac{\sigma^2_2}{\sigma^2_1} \leq F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)} \times \frac{s^2_2}{s^2_1}$