BellCurve 統計WEB

  • Step1. 初級編
  • 22. 母分散の区間推定

22-4. 母分散の信頼区間の求め方2

例題:

ある工場で生産される部品Aを10個無作為抽出し、寸法を測定しました。測定した寸法から不偏分散s^{2}を求めると2.5になりました。このとき母分散の95%信頼区間はいくらでしょうか。ただし部品の寸法は正規分布に従うものとします。

この問題ではサンプルサイズは10なので、n=10です。したがって、自由度10-1=9のカイ二乗分布を使います。自由度9のカイ二乗分布において上側2.5%点は「\chi_{0.025}^{2}(9)=19.02」、下側2.5%点は「\chi_{0.975}^{2}(9)=2.70」であることから、これらの値を母分散区間推定の式に代入します。

 \displaystyle \frac{(n-1)s^{2}}{\chi_{\alpha/2}^{2}(n-1)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{(n-1)s^{2}}{\chi_{1-\alpha/2}^{2}(n-1)}
 \displaystyle \frac{(10-1)s^{2}}{\chi_{0.05/2}^{2}(10-1)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{(10-1)s^{2}}{\chi_{1-0.05/2}^{2}(10-1)}
 \displaystyle \frac{9 \times 2.5}{\chi_{0.025}^{2}(9)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{9 \times 2.5}{\chi_{0.975}^{2}(9)}
 \displaystyle \frac{9 \times 2.5}{19.02} \leq \sigma^{2} \leq \frac{9 \times 2.5}{2.70}
 \displaystyle 1.18 \leq \sigma^{2} \leq 8.33

以上の計算から、部品Aの母分散\sigma^{2}の95%信頼区間は1.18から8.33であると求められました。

母分散の信頼区間を求める上での注意点は次の2点です。

  1. 分子は「サンプルサイズn-1」に不偏分散をかけたものです。「サンプルサイズn」に不偏分散をかけたものではありません。
  2. 次の図を見ると、
  3. 図1

    母分散\sigma^{2}の95%信頼区間の式を

     \displaystyle \frac{9 \times 2.5}{\chi_{0.975}^{2}(9)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{9 \times 2.5}{\chi_{0.025}^{2}(9)}

    と書いてしまいそうになりますがこれは間違いです。正しくは次のようになります。分母に注意してください。

     \displaystyle \frac{9 \times 2.5}{\chi_{0.025}^{2}(9)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{9 \times 2.5}{\chi_{0.975}^{2}(9)}

22. 母分散の区間推定

事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -