- Step1. 基礎編
- 22. 母分散の区間推定
22-4. 母分散の信頼区間の求め方2
例題:
ある工場で生産される部品Aを10個無作為抽出し、寸法を測定しました。測定した寸法から不偏分散を求めると2.5になりました。このとき母分散の95%信頼区間はいくらでしょうか。ただし部品の寸法は正規分布に従うものとします。
この問題ではサンプルサイズは10なので、n=10です。したがって、自由度10-1=9のカイ二乗分布を使います。自由度9のカイ二乗分布において上側2.5%点は「」、下側2.5%点は「
」であることから、これらの値を母分散の区間推定の式に代入します。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \frac{(n-1)s^{2}}{\chi_{\alpha/2}^{2}(n-1)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{(n-1)s^{2}}{\chi_{1-\alpha/2}^{2}(n-1)}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88cc6633314a9f379161b1e5f3f31d03_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \frac{(10-1)s^{2}}{\chi_{0.05/2}^{2}(10-1)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{(10-1)s^{2}}{\chi_{1-0.05/2}^{2}(10-1)}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d7007420f69b4389e17ee196ebe3c138_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \frac{9 \times 2.5}{\chi_{0.025}^{2}(9)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{9 \times 2.5}{\chi_{0.975}^{2}(9)}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d90ec142a2a8c0020928c5528976f2de_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \frac{9 \times 2.5}{19.02} \leq \sigma^{2} \leq \frac{9 \times 2.5}{2.70}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-af25540e201a8d9c9fd260589e95e0f2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle 1.18 \leq \sigma^{2} \leq 8.33](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a34c4783ae72b58bf68967137e918736_l3.png)
以上の計算から、部品Aの母分散の95%信頼区間は1.18から8.33であると求められました。
母分散の信頼区間を求める上での注意点は次の2点です。
- 分子は「サンプルサイズn-1」に不偏分散をかけたものです。「サンプルサイズn」に不偏分散をかけたものではありません。
- 次の図を見ると、
![図1](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/uploads/2016/10/795316b92fc766b0181f6fef074f03fa-14.png)
母分散の95%信頼区間の式を
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \frac{9 \times 2.5}{\chi_{0.975}^{2}(9)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{9 \times 2.5}{\chi_{0.025}^{2}(9)}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-63d44bfcc3e77d27497962ee96192254_l3.png)
と書いてしまいそうになりますがこれは間違いです。正しくは次のようになります。分母に注意してください。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \frac{9 \times 2.5}{\chi_{0.025}^{2}(9)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{9 \times 2.5}{\chi_{0.975}^{2}(9)}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d90ec142a2a8c0020928c5528976f2de_l3.png)
22. 母分散の区間推定
事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -
- 20. 母平均の区間推定(母分散未知)
20-3. 母平均の信頼区間の求め方(母分散未知)
- 21. 母比率の区間推定
21-1. 母比率の信頼区間の求め方1
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正規分布, カイ二乗分布, t 分布, F 分布