練習問題（22. 母分散の区間推定）

以下の問題でカイ二乗分布表が必要な場合、ページ下部の表を用いてよい。

次の母分散の区間推定、およびカイ二乗分布についての記述のうち、正しいものを選べ。

答えを見る

答え閉じる

ある会社で残業時間を集計することになった。社内からランダムに選ばれた15人の残業時間を計算すると、1日あたりの平均残業時間は2.3時間（不偏分散0.3）であった。このとき、母分散の95%信頼区間を求める式として正しいものはどれか。ただし、残業時間の分布は正規分布に従うものとします。

$\displaystyle \frac{14 \times s^{2}}{\chi_{0.025}^{2}(14)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{14 \times s^{2}}{\chi_{0.975}^{2}(14)}$
$\displaystyle \frac{15 \times s^{2}}{\chi_{0.975}^{2}(14)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{15 \times s^{2}}{\chi_{0.025}^{2}(14)}$
$\displaystyle \frac{14 \times s^{2}}{\chi_{0.975}^{2}(15)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{14 \times s^{2}}{\chi_{0.025}^{2}(15)}$
$\displaystyle \frac{15 \times s^{2}}{\chi_{0.025}^{2}(15)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{15 \times s^{2}}{\chi_{0.975}^{2}(15)}$

答えを見る

答え閉じる: 95%信頼区間は下の式から求めます。ただし、nはサンプルサイズを、 $s^{2}$ は標本から得られた不偏分散を、 $(1-\alpha)$ （＝ $100(1-\alpha)$ %）は信頼係数を表します。したがって正しい式は「1」となります。

$\displaystyle \frac{(n-1)s^{2}}{\chi_{\alpha/2}^{2}(n-1)} \leq \sigma^{2} \leq \frac{(n-1)s^{2}}{\chi_{1-\alpha/2}^{2}(n-1)}$

あるメーカーが生産している自動車Aの10台の燃費を計測したところ、その不偏分散は $3.29{km}^2$ であった。この自動車Aの燃費の母分散の95％信頼区間を求めよ。

答えを見る

答え閉じる: 10台の自動車からのデータであるので、自由度9のカイ二乗分布を用います。自由度9のカイ二乗分布の上側97.5％点と2.5％点の値はそれぞれ2.70、19.02であることから、母分散の信頼区間は下記のようにして求められます。

$\displaystyle \frac{1}{2.70} \geq \frac{\sigma^{2}}{(n-1)s^{2}} \geq \frac{1}{19.02}$

$\displaystyle \frac{9 \times 3.29}{19.02} \leq \sigma^{2} \leq \frac{9 \times 3.29}{2.70}$

$1.56 \leq \sigma^{2} \leq 10.97$

男性9人をランダムに選び、40秒間での腕立て伏せの回数を記録した。男性の腕立て伏せの回数の母分散の90％信頼区間を求めよ。

答えを見る

答え閉じる: 不偏分散を求めると6.94となります。9人からのデータであるので、自由度8のカイ二乗分布を用います。90％信頼区間を求める問題であるため、5％点と95％点の値が必要となることに注意してください。自由度8のカイ二乗分布の上側95％点と5％点の値はそれぞれ2.73、15.51であることから、母分散の信頼区間は下記のようにして求められます。

$\displaystyle \frac{8 \times 6.94}{15.51} \leq \sigma^{2} \leq \frac{8 \times 6.94}{2.73}$

$3.58 \leq \sigma^{2} \leq 20.34$

ランダムに選んだ男性5人の身長を測定したところ、次のようなデータが得られた。男性の身長の母分散の95%信頼区間を求めよ。

答えを見る

答え閉じる: 不偏分散を求めると15.33となります。5人からのデータであるので、自由度4のカイ二乗分布を用います。自由度4のカイ二乗分布の上側97.5％点と2.5％点の値はそれぞれ0.48、11.14であることから、母分散の信頼区間は下記のようにして求められます。

$\displaystyle \frac{4 \times 15.33}{11.14} \leq \sigma^{2} \leq \frac{4 \times 15.33}{0.48}$

$5.50 \leq \sigma^{2} \leq 127.75$

カイ二乗分布表