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  • 22. 母分散の区間推定

練習問題(22. 母分散の区間推定)

以下の問題でカイ二乗分布表が必要な場合、ページ下部の表を用いてよい。

1

あるメーカーが生産している自動車Aの10台の燃費を計測したところ、その不偏分散は3.29{km}^2であった。この自動車Aの燃費の母分散の95%信頼区間を求めよ。

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答え:1.56 \leq \sigma^{2} \leq 10.97閉じる閉じる

10台の自動車からのデータであるので、自由度9のカイ二乗分布を用います。自由度9のカイ二乗分布の上側97.5%点と2.5%点の値はそれぞれ2.70、19.02であることから、母分散の信頼区間は下記のようにして求められます。

 \displaystyle \frac{1}{2.70} \geq \frac{\sigma^{2}}{(n-1)s^{2}} \geq \frac{1}{19.02}
 \displaystyle \frac{9 \times 3.29}{19.02} \leq \sigma^{2} \leq \frac{9 \times 3.29}{2.70}
 1.56 \leq \sigma^{2} \leq 10.97

2

男性9人を呼び出し、40秒間での腕立て伏せの回数を記録した。男性の腕立て伏せの回数の母分散の90%信頼区間を求めよ。

No. 記録
1 24
2 28
3 22
4 31
5 28
6 25
7 27
8 26
9 25

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答え:3.58 \leq \sigma^{2} \leq 20.32閉じる閉じる

まず、不偏分散を求めると6.94となります。9人からのデータであるので、自由度8のカイ二乗分布を用います。90%信頼区間を求める問題であるため、5%点と95%点の値が必要となることに注意してください。自由度8のカイ二乗分布の上側95%点と5%点の値はそれぞれ2.73、15.51であることから、母分散の信頼区間は下記のようにして求められます。この式が分からない場合、「22-3.母分散の信頼区間の求め方1」の【まとめ】を確認してください。

 \displaystyle \frac{8 \times 6.94}{15.51} \leq \sigma^{2} \leq \frac{8 \times 6.94}{2.73}
 3.58 \leq \sigma^{2} \leq 20.32

3

男性5人の身長を測定したところ、次のようなデータが得られた。男性の身長の母分散の95%信頼区間を求めよ。

No. 身長[cm]
1 175.8
2 171.9
3 172.7
4 170.3
5 180.2

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答え:5.50 \leq \sigma^{2} \leq 127.75閉じる閉じる

不偏分散を求めると15.33となります。5人からのデータであるので、自由度4のカイ二乗分布を用います。自由度4のカイ二乗分布の上側97.5%点と2.5%点の値はそれぞれ0.48、11.14であることから、母分散の信頼区間は下記のようにして求められます。この式が分からない場合、「22-3.母分散の信頼区間の求め方1」の【まとめ】を確認してください。

 \displaystyle \frac{4 \times 15.33}{11.14} \leq \sigma^{2} \leq \frac{4 \times 15.33}{0.48}
 5.50 \leq \sigma^{2} \leq 127.75

カイ二乗分布表

α
\nu 0.99 0.975 0.95 0.90 0.10 0.05 0.025 0.01
1 0.00 0.00 0.00 0.02 2.71 3.84 5.02 6.64
2 0.02 0.05 0.10 0.21 4.61 5.99 7.38 9.21
3 0.12 0.22 0.35 0.58 6.25 7.82 9.35 11.35
4 0.30 0.48 0.71 1.06 7.78 9.49 11.14 13.28
5 0.55 0.83 1.15 1.61 9.24 11.07 12.83 15.09
6 0.87 1.24 1.64 2.20 10.65 12.59 14.45 16.81
7 1.24 1.69 2.17 2.83 12.02 14.07 16.01 18.48
8 1.65 2.18 2.73 3.49 13.36 15.51 17.54 20.09
9 2.09 2.70 3.33 4.17 14.68 16.92 19.02 21.67
10 2.56 3.25 3.94 4.87 15.99 18.31 20.48 23.21

22. 母分散の区間推定