公認会計士論文式試験の選択問題（統計学）を解く～その1～

2017/12/04

カテゴリ：公認会計士（統計学）

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概要

この記事は、平成28年公認会計士論文試験の統計学分野の選択問題（第8問）を解いたものです。統計学の時間で一通り勉強すれば、第8問はすべて解けるようになります。

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第8問　問題1（本記事）
第8問　問題2
第8問　問題3

問題1

■問1：ア

正規分布を用いた信頼区間の推定に関する問題です。

問題文より、器具Aの寿命は次のような分布であることがわかります。

$X \sim N(10,{3.6}^2)$ のもとで、 $P(X \leq 1)$ を計算します。これは、次の図の青色で表される部分の面積です。

寿命が正規分布に従うことから、正規分布表を用いて計算することができます。最初に、 $X$ を標準化します。

$\displaystyle \frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{1-10}{3.6} = -2.5$

標準正規分布表より、求める確率は $\Phi (-2.5)=0.0062$ です。

しかしながら、この解法はあまり正確ではない可能性が考えられます。なぜなら、 $X < 0$ の部分も考慮してしまっているからです。

より正確な数値を計算するなら、 $X \geq 0$ における条件付き分布を次のように定めます。

$\displaystyle f(X|X \geq 0) = \frac{1}{\displaystyle \int_{-\infty}^{0}f(t)dt}f(X)$

正規分布の場合には、これを特に切断正規分布と言います。

この分布について、 $P(0\leq X \leq 1)$ を計算すれば正しい確率が計算できます。条件付き分布から計算した答えは次のようになります。

$\displaystyle P(0\leq X \leq 1)=\frac{0.0062-0.0027}{0.0027}=0.0035$

ただし、実際の試験ではここまで正確に求める必要はないと考えられます。

■問1：イ

次のように算術平均 $\bar{x}$ を計算します。

$\displaystyle \bar{x}= \frac{1}{6} \left( 12.5+11.5+13.2+9.5+12.0+8.5 \right)=11.2$

■問1：ウ

不偏分散は、次のように計算します。分母は「サンプルサイズ-1」となることに注意してください。

$\begin{eqnarray*} \begin{split} \displaystyle \nu^2 &= \frac{1}{6-1} \left( (12.5-11.2)^2 + (11.5-11.2)^2 + (13.2-11.2)^2 \\ &\quad + (9.5-11.2)^2 + (12.0-11.2)^2 + (8.5-11.2)^2 \right) \\ &= \frac{16.6}{5} \\ &= 3.32 \end{split} \end{eqnarray*}$

■問1：エ、オ

母分散が未知の場合における母平均の95%信頼区間は次の式で計算できます。

$\displaystyle \bar{x} + t_{(0.025,n-1)}\sqrt{\frac{\nu^2}{n}} \leq \mu \leq \bar{x} + t_{(0.975,n-1)}\sqrt{\frac{\nu^2}{n}}$

$t_{(a,b)}$ は自由度bのt分布の下側aパーセント点を表します。 $t_{(0.025,5)}$ と $t_{(0.975,5)}$ は、t分布表よりそれぞれ-2.571、2.571です。数値を読み取る際は、数値表の定義をよく参照してください。

イ、ウの結果を代入すると、次のようになります。

$\displaystyle 11.2 -2.571\sqrt{\frac{3.32}{6}} \leq \mu \leq 11.2 + 2.571\sqrt{\frac{3.32}{6}} \\ \iff 11.2 -1.912 \leq \mu \leq 11.2 + 1.912 \\ \iff 9.29 \leq \mu \leq 13.11 \\$

以上より、エは9.29で、オは13.11です。

■問1：カ、キ

母分散の95％信頼区間は、次の式で計算できます。

$\displaystyle \chi^2_{(0.025,n-1)} \leq \frac{(n-1)\nu^2}{\sigma^2} \leq \chi^2_{(0.975,n-1)}$

ウの結果を代入すると、次のようになります。 $\chi^2_{(a,b)}$ は自由度bのカイ二乗分布の下側aパーセント点を表します。 $\chi_{(0.025,5)}$ と $\chi^2_{(0.975,5)}$ は、カイ二乗分布表よりそれぞれ0.83、12.83です。数値を読み取る際は、数値表の定義をよく参照してください。

$\displaystyle \chi^2_{(0.025,n-1)} \leq \frac{(n-1)\nu^2}{\sigma^2} \leq \chi^2_{(0.975,n-1)} \\ \iff \displaystyle 0.83 \leq \frac{16.6}{\sigma^2} \leq 12.83 \\ \iff \displaystyle \frac{16.6}{12.83} \leq \sigma^2 \leq \frac{16.6}{0.83} \\ \iff 1.29 \leq \sigma^2 \leq 20$

以上より、カは1.29で、キは20です。

問2

比率の信頼区間に関する問題です。問題文より、次の式が成立するような最小のnを求めればよいことが分かります。

|比率の95％信頼区間の最大値-比率の真値|≦0.03

比率の信頼区間の最大値は、次の式で計算することができます。

$\displaystyle p + 1.96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

問題文から、比率の真値 $p$ は0.5として計算します。これを問題文の式に代入すると、次のようになります。

$\displaystyle \left| p + 1.96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} -p \right| \leq 0.03 \iff \displaystyle 1.96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \leq 0.03 \iff \displaystyle \sqrt{n} \geq \frac{9604}{9} \simeq 1067.1$

よって、nは1067.1より大きい最小の整数であることが分かります。答えは1068です。

統計学の時間で勉強しよう

今回の問題は、「統計学の時間」の記事で勉強できます。それぞれの問題について、関連する単元をリストアップしています。

問1：ア　
14-4. 標準正規分布表
14-5. 標準正規分布の使い方1
14-6. 標準正規分布の使い方2
問1：イ　
3-1. 平均・中央値・モード
問1：ウ　
18-4. 標本分散と不偏分散
問1：エ、オ　
20-3. 母平均の信頼区間の求め方（母分散未知）
問1：カ、キ　
22-3. 母分散の信頼区間の求め方1
問2　
21-1. 母比率の信頼区間の求め方1
21-4. 必要なサンプルサイズ1

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