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  • Step1. 初級編
  • 18. 母平均の点推定

18-4. 標本分散と不偏分散

母平均の点推定を行うと、「不偏分散」というものが出力されます。

図1

得られたデータの平均を \overline{x} 、個々のデータをx_{i} (i=1, 2, …, n)、サンプルサイズをnとすると、標本分散\widehat{\sigma} ^{2}は、次の式から求められます。

■標本分散

 \displaystyle \widehat{\sigma} ^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline{x})^{2}

ただし、標本分散は一致推定量ではあるものの不偏推定量ではありません。つまり、nが十分に大きくないとき標本分散の期待値は母分散に一致せず、母分散より小さくなります。そのため、標本分散にかわり、標本分散の期待値が母分散に一致するように標本分散の算出式にn/(n-1)をかけたものが不偏分散の算出式となります。不偏分散は一般的にs^{2}と書き、次の式から算出できます。

■不偏分散について

 \displaystyle s^{2}=  \displaystyle \frac{n}{n-1}  \times \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline{x})^{2} =\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline{x})^{2}

このs^2を不偏分散といい、一致性と不偏性をもつ推定量となります。s^{2}はこれからよく出てくる推定量です。

無作為に抽出された10都道府県の合計スクリーン数のデータから標準誤差を求めてみます。

No. 都道府県 全スクリーン数
1 兵庫 126
2 大阪 224
3 奈良 34
4 岩手 25
5 千葉 199
6 茨城 89
7 福岡 178
8 山梨 14
9 滋賀 38
10 鳥取 11

不偏分散の式にあてはめると

 \displaystyle s^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline{x})^{2}  =\frac{1}{10-1}×\left\{(126-93.8)^{2}+(224-93.8)^{2}+\cdots+(11-93.8)^{2}\right\}=6757.3

となります。

18. 母平均の点推定