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  • Step1. 初級編
  • 18. 母平均の点推定

18-3. 推定量の性質

母平均の点推定では、標本平均のもつ「標本平均の期待値E(\overline{x})は母平均\muと一致する」という性質を用いました(17-2章 大数の法則より)。このように推定できるのは、母平均の推定量が「一致性」と「不偏性」という2つの性質を満たすためです。

■一致性について

推定量を元に母平均や母分散のような分布のパラメータ(母数)を推測するとき、その推測が正確である必要があります。大数の法則は、サンプルサイズnが大きくなると、標本平均が母平均に近づくというものでした。このように、nが大きくなれば、推定量がだんだんと真のパラメータに近づく性質を「一致性」と言います。

推定量\widehat{\theta}、真のパラメータをθと表記するとき、一致性を式で表すと次のようになります。

 \displaystyle  \forall  \varepsilon >0,~~n \rightarrow \infty,~~P(|\widehat{\theta}-\theta|> \varepsilon )=0

難しい式ですが、これを覚える必要はありません。この式は「nが大きくなれば、推定値\widehat{\theta}は真のパラメータ\thetaに近づく」ということ意味しています。

図2

■不偏性について

推定量を元に母平均や母分散のような分布のパラメータ(母数)を推測するとき、その推測が真のパラメータから大きく外れてしまっては意味がありません。言い換えると、推定量の期待値がパラメータに一致する必要があります。この性質を「不偏性」と言います。不偏性を、推定量\widehat{\theta}と真のパラメータ\thetaを用いて表すと次のようになります。

 \displaystyle E(\widehat{\theta})=\theta

これは、「nの値に関係なく、\widehat{\theta}期待値\thetaであること」を示しています。つまり、nが小さい時にも大きい時にも、推定量の外れ具合が偏っていない(外れ具合が上にも下にも同じである)ことを表しています。

図1

■標本平均の性質

標本平均は一致推定量であり不偏推定量です。そのため、標本平均の値を母平均の推定量として使うことができるわけです。

18. 母平均の点推定

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