公認会計士論文式試験の選択問題（統計学）を解く～その2～

2017/12/05

カテゴリ：公認会計士（統計学）

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概要

この記事は、平成28年公認会計士論文試験の統計学分野の選択問題（第8問）の問題2を解いたものです。統計学の時間で一通り勉強すれば、第8問はすべて解けるようになります。

記事一覧

第8問　問題1
第8問　問題2（本記事）
第8問　問題3

問題2

■問1：ア

一元配置分散分析における帰無仮説は「効果はない( $a_1=a_2=a_3=a_4=0$ )」です。対立仮説は「効果がある( $\lnot a_1=a_2=a_3=a_4=0$ )」です。これは、「 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $a_4$ の中に少なくともひとつ0ではないものがある」ことを意味します。

■問2

分散分析における誤差項は、重回帰分析と同じ仮定「平均0で分散が等しく、互いに独立な正規分布に従う」を満たす必要があります。

■問2：イ

誤差項は等分散、つまり分散が一定です。

■問2：ウ

誤差項は正規分布に従います。

■問2：エ

誤差項に相関はありません、つまり独立です。

■問3

因子「休憩時間」の平方和 $S_A$ と誤差の平方和 $S_E$ を計算します。この際、平方和の分解より「 $S_A+S_E=353.2$ 」が成立することを考慮すると、 $S_A$ か $S_E$ のどちらか一方を計算すればよいことが分かります。今回は、因子「休憩時間」の平方和 $S_A$ を計算します。

一元配置分散分析における因子の平方和は、次の手順で計算できます。

ステップ1：すべての群を併合した平均値を計算する
ステップ2：各群ごとの平均値を計算する
ステップ3：各群ごとの群平均と全体平均を用いて平方和を計算する
ステップ4：各群ごとの平方和の総和を計算する

では、それぞれの手順を具体的に追っていきましょう。

ステップ1

データ全体の算術平均値 $\bar{x}$ を計算します。

$\begin{eqnarray*} \begin{split} \displaystyle \bar{x} &= \frac{1}{20} \left( (2+6+8+4+1) \\ &\quad + (6+11+10+8+6) \\ &\quad + (17+14+12+16+10) \\ &\quad + (7+6+8+11+13) )\\ &= \frac{176}{20} \\ &= 8.8 \end{split} \end{eqnarray*}$

ステップ2

各群ごとの算術平均値 $\bar{x}_i \hspace{2mm}(i=1,2,3,4)$ を計算します。

$\displaystyle \bar{x}_1 = \frac{1}{5}(2+6+8+4+1)=4.2 \\ \bar{x}_2 = \frac{1}{5}(6+11+10+8+6)=8.2 \\ \bar{x}_3 = \frac{1}{5}(17+14+12+16+10)=13.8 \\ \bar{x}_4 = \frac{1}{5}(7+6+8+11+13)=9$

ステップ3

各群ごとに、 $s_i = n_i (\bar{x_i}-\bar{x})^2$ を計算します。ここで、 $n_i$ は各群のサンプルサイズを表します。今回は全てのiについて $n_i=5$ です。

$\displaystyle s_1 =n_1(\bar{x}_1 - \bar{x})= 5 (4.2- 8.8)^2 = 105.8 \\ s_2 =n_2(\bar{x}_2 - \bar{x})= 5 (8.2- 8.8)^2 = 1.8 \\ s_3 =n_3(\bar{x}_3 - \bar{x})= 5 (13.8- 8.8)^2 = 125 \\ s_4 =n_4(\bar{x}_4 - \bar{x})= 5 (9.0- 8.8)^2 = 0.2$

ステップ4

全ての $s_i$ を合計します。これが求める $S_A$ になります。

$S_A = \displaystyle \sum_{i=1}^{4} s_i = 105.8 + 1.8 + 125 + 0.2 = 232.8$

また、 $S_E$ は次のように計算できます。

$S_E = 353.2 - 232.8 = 120.4$

■問4

帰無仮説を検定します。検定には、因子と誤差の平均平方 $V_A$ 、 $V_E$ を使用し、次のように検定統計量 $F_a$ を構成します。平均平方は、平方和 $S$ を対応する自由度 $\phi$ で割ったものです。

$\displaystyle F_a = \frac{V_A}{V_E} =\frac{\frac{S_A}{\phi_A}}{\frac{S_E}{\phi_E}}$

$\phi$ の値を求めましょう。因子の自由度 $\phi_A$ は、「因子の水準数-1」で計算できます。この問題では水準数は4であるため、 $\phi_A=4-1=3$ です。

誤差の自由度 $\phi_E$ ですが、自由度も平方和と同様に分解することができ、「 $\phi_A + \phi_E = \phi_T$ 」の関係が成立します。

$\phi_T$ は、「全体のサンプルサイズ-1」で計算できます。つまり。 $\phi_T=20-1=19$ です。以上のことから、 $\phi_E=19-3=16$ と求められます。

検定統計量 $F_a$ は、 $S_A$ 、 $S_E$ 、 $\phi_A$ 、 $\phi_T$ を用いて次のように求められます。

$\displaystyle V_A = \frac{S_A}{\phi_A} = \frac{232.8}{3}= 77.6 \\ V_E = \frac{S_E}{\phi_E} = \frac{120.4}{16}=7.525 \\ F_A = \frac{V_A}{V_E} = \frac{77.6}{7.525} =10.3$

$F_A$ は帰無仮説のもとでF分布に従うため、F検定を行います。 F分布表から、自由度(3,16)の上側5パーセント点の値を参照すればいいのですが、(3,16)の点は表に載っていません。このような場合、二通りの考え方で解くことができます。

■分布の性質を使用して解く方法

パーセント点を固定した場合、 $F(m,n)$ は自由度 $n$ が増加すると単調に減少するため、 $F(3,15) > F(3,16)> F(3,20)$ の大小関係が成立します。つまり、 $F(3,16)$ が $F(3,15)$ より大きくなることはありません。

これは、仮の棄却域として帰無仮説に対し保守的な値 $F(3,15)$ を使用し検定が有意となれば、正しい棄却域 $F(3,16)$ を使用しても有意になることを意味します。

また、検定統計量 $F_A$ は10を超えており、 $F_A=10.3 > F(3,15) = 3.287 > F(3,16) > 3.098 = F(3,20)$ であることも考慮すると、有意水準5%のもとでは確実に有意であると考えられます。以上より、有意水準5%で帰無仮説は棄却されます。

■自由度を補完する方法

分布表にない自由度でも、補完して近似値を求めることができます。調和補完による計算方法を紹介します。

2点A,Bについて、この2点を $t:(1-t)$ に内分する点Cを計算します。

$C=tA+(1-t)B$

今回は第2自由度15と20について、 $A=F(3,15)$ 、 $B=F(3,20)$ 、 $C=(3,16)$ と定めます。つまり次のような式で $F(3,16)$ を計算します。

$F(3,16)= tF(3,15)+(1-t)F(3,20)$

ここで、tは次の式で計算します。

$\displaystyle t = \frac{\frac{1}{N_C}-\frac{1}{N_B}}{\frac{1}{N_A}-\frac{1}{N_B}}$

今回は $N_A,N_B,N_C$ に第2自由度を使用します。実際に計算すると次のようになります。

$\displaystyle t= \frac{\frac{1}{16}-\frac{1}{20}}{\frac{1}{15}-\frac{1}{20}}=\frac{3}{4}= 0.75$

tの値が求められたので、 $F(3,16)$ を計算しましょう。

$\begin{eqnarray*} F(3,16) &=& 0.75 \times F(3,15) + 0.25 \times F(3,20) \\ &=& 0.75 \times 3.287 + 0.25 \times 3.098\\ &=& 3.23975 \end{eqnarray*}$

補完の結果、 $F(3,16) = 3.23975$ と求められました。実際の数値は $F(3,16)=3.23887\cdots$ であるので、精度よく補完できていることがわかります。この値を棄却域と定め検定統計量 $F_A$ と比較すればよいのですが、 $F_A=10.3 >3.23975=F(3,16)$ となるため、有意となることがわかります。

統計学の時間で勉強しよう

今回の問題は、「統計学の時間」の記事で勉強できます。それぞれの問題について、関連する単元をリストアップしています。

29-3. 一元配置分散分析の流れ2

問4　
28-2. F分布表
29-3. 一元配置分散分析の流れ2
29-4. 一元配置分散分析の流れ3

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