概要 平均$\mu$、分散$\sigma^2$をもつ正規分布$N(\mu,\sigma^2)$について、ある点で切断したときの期待値と分散を計算します。 必要な数学的知識 確率分布の基本的な性質、部分積分、置換積分 具体的な計算については、高校数学程度です。 切断正規分布の確率密度関数 正規分布$N(\mu,\sigma^2)$の確率密度関数は次の通りです \displaystyle p(x)=...

概要 身長の統計データを例に、母集団の違いが偏差値の算出に与える影響を実際に計算しました。 使用するデータ 文部科学省が実施する学校保健統計調査の2016年度の調査結果から、17歳の男性（高校3年生）の身長データを使用しました。 学校保健統計調査（e-Statへの外部リンク） 17歳男性の身長の分布 17歳の男性の平均身長は170.6cm、標準偏差は5.8...

概要 ブログ記事「正規分布の分散を計算する」の解説記事です。 次の式で表される正規分布の分散（Vとします）が$\sigma^2$となることについて、その計算の過程を補ったものです。 \displaystyle V= \int_{-\infty }^{\infty} (x-\mu)^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) dx = \sigma^2 なお、数学...

Excel のグラフを用いて正規分布曲線を作成する方法を紹介します。 対応Excelバージョン この手順は、Excel 2016・2019・2021、Microsoft365(Office365)に対応しています。 概要 正規分布曲線は次の式で表されます。 \displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} \exp \left( - \frac{(x- \mu)^2}{2 \sigma^2} \right) \hspace{5mm} (- \in...

Excel のグラフを用いてカイ二乗分布曲線を作成する方法を紹介します。 対応Excelバージョン この手順は、Excel 2016・2019・2021、Microsoft365(Office365)に対応しています。 概要 自由度mのカイ二乗分布曲線は次の式で表されます。 \displaystyle f(m,x) = \frac{1}{2^{\frac{m}{2}} \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} x^{\frac{m}{2}-1} e^{- \f...

概要 正規分布$N(\mu,\sigma^2)$の分散は$\sigma^2$です。 公式のように覚えてしまうのもよいのですが、実際に計算して$\sigma^2$であることを確かめましょう。 ただし本記事では、意図的に式展開や計算の根拠などの行間を省いている部分があります。 練習問題のように実際に計算して、行間を埋めてください。 行間は、来月の記事で解説します。 ...

※コラム「統計備忘録」の記事一覧はこちら※ 平均値の差の検定を行うには、t 分布を用いる方法（ t 検定）と正規分布を用いる方法（ z 検定）とがあります。どう使い分けたらよいのでしょう。結論から先に言うと、迷わず t 検定を使ってください。 平均値の差の検定をするには、検定統計量として「平均値の差／標準誤差」を求めます。こ...

※コラム「統計備忘録」の記事一覧はこちら※ 今年はガウス（Johann Carl Friedrich Gauss、1777-1855）が『天体運行論』を出版してからちょうど200年になります。多くの統計学の本では、ガウスが正規分布を発見したと書かれています。ガウスが『天体運行論』の中で、天体観測によるデータの誤差はある基本的な法則に従うという理論を確立したからです。...

※コラム「統計備忘録」の記事一覧はこちら※ 統計学のテキストでは母集団の平均を母平均といってギリシャ文字の μ（ミュー）で表します。一方、母集団から抽出した標本集団の平均を標本平均といってアルファベットの小文字の m や X（エックスバー）で表します。 推測統計学（統計的仮説検定や推定のこと）の立場では母平均は1個しか存在しません...

※コラム「統計備忘録」の記事一覧はこちら※ この4つの分布は統計学において頻繁に利用されますが、4つの分布の間には以下のような関連があります。 まず、自由度 n のカイ二乗（c2）分布は、n 個の独立な（変数間に相関がない）標準正規分布に従う変数 z を二乗して加え合わせたものです。式にすると次の通りになります。 カイ二...