統計検定2級CBT公式問題集の解説(確率分布の分野)
2023/08/12
カテゴリ:統計検定
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※統計検定2級 解説記事一覧はこちら※
下記のリンクからそれぞれの問題の解説に飛ぶことができます。
- 問1:確率分布の定数の決定に関する問題
- 問2:正規確率の計算に関する問題
- 問3:確率変数の関数の期待値に関する問題
- 問4:2項分布の正規近似に関する問題
- 問5:2項確率の比に関する問題
- 問6:分布形と歪度・尖度に関する問題
- 問7:X-Yの確率計算に関する問題
- 問8:線形な変数変換、共分散、相関係数に関する問題
問1
確率密度関数は、連続型確率変数 に対して確率を得るための関数を
で表したもので、次の式が成り立ちます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \int_{-{\infty}}^{\infty} f(x)dx = 1, \hspace{20px} f(x) \geq 0](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-60e44fd831f453beb32828ae86f8d13a_l3.png)
また、 が
から
までの値を取るとき、その確率は次のように計算できます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P(a \leq x \leq b) = \int_a^b f(x)dx](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c64519d2ac55998dce075a3e21e0cc7e_l3.png)
問題文の確率密度関数に対して1つ目の式を用いると、
となります。この式を整理すると
となります。これを解くと、 となります。
問2
まず、-1と4を標準化します。ある確率変数 が平均
、分散
の正規分布に従う時、
から平均
を引いて
で割った値を
とおくと、この
は「平均が0、分散が1の標準正規分布」に従います。標準化を行うことにより、単位や平均値などが異なるデータ同士の大小を「標準正規分布表」を使って比較できるようになります。
−1を標準化すると
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \frac{-1-2}{\sqrt{9}} = -1](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1e65eeb3b02147bde3138763d016af6e_l3.png)
となります。4を標準化すると
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \frac{4-2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3} = 0.67](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5981e2a7303ebc212770e6c5d5653cfe_l3.png)
となります。これらの結果から、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P(-1 < X \leq 4) = P(-1 < X \leq 0.67)](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-186cbefc2146d675e431ec26cbe734bc_l3.png)
となります。
であることから、標準正規分布表より
となる確率は0.16であり、
となります。
また、標準正規分布表より となる確率は0.25です。
したがって、 となります。
データの標準化の詳細については「14-3. 標準化したデータの使い方」をご覧ください。
問3
確率密度関数 から期待値
を計算する場合には、次の式を使います。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-971757456c7b84c2b64854fdaafdee33_l3.png)
問題文の値を用いて計算すると
となります。
確率密度関数の期待値の詳細については「12-3. 確率変数の期待値」をご覧ください。
問4
成功確率が である試行を
回行うときに成功する回数
が従う確率分布である二項分布では、
が十分に大きい場合には、次の式から得られる
が標準正規分布に従います。
は標本比率を表します。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle Z=\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1d08de4da731d83e9e46ef34e76561c3_l3.png)
問題文の値を使うと
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P(|\hat{p} - p| \leq 0.1)](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ffcbaab85fcf0ad7c526ed8863aba51d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P(-0.1 \leq \hat{p} - p \leq 0.1)](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9083b8e7e80818709f6bfa498efdd87a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P\left( \frac{-0.1}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}} \leq \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}} \leq \frac{0.1}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}} \right)](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b8106fb9841e7dc652957f861082c909_l3.png)
となります。問題文より、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \hat{p} = \frac{54}{100} = 0.54](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df93811e83db85c9e6b0de6f6813ff80_l3.png)
であることから、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.54(1-0.54)}{100}} = 0.05](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-793b381130e977e3ebdc1d280cabb51c_l3.png)
となります。この値を使うと、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P\left( \frac{-0.1}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}} \leq \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}} \leq \frac{0.1}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}} \right)](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b8106fb9841e7dc652957f861082c909_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P\left( \frac{-0.1}{0.05} \leq \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}} \leq \frac{0.1}{0.05} \right)](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a70f1e55d0b2aa5ffb79ac6b40b7ad98_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P\left( -2 \leq \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}} \leq 2 \right)](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f3877fb29d727f3dc9cd3db4d89591d4_l3.png)
標準正規分布表より となる確率は0.0228であることから、求める確率は
となります。
二項分布の正規近似の詳細については「21-1. 母比率の信頼区間の求め方1」をご覧ください。
問5
回のベルヌーイ試行を行うときに成功する回数
がちょうど
回となる確率、すなわち
となる確率は次の式から計算することができます。
一方、 となる確率は次の式から計算することができます。
したがって、
問題文より、、
であることから
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{eqnarray*} \displaystyle \frac{(n-x)p}{(x+1)(1-p)} &=& \frac{(7-x)\times \frac{1}{3}}{(x+1)(1-\frac{1}{3})} \\ &=& \frac{(7-x) \times \frac{1}{3}}{(x+1) \times \frac{2}{3}} \\ &=& \frac{(7-x)}{2(x+1)} \\ &=& \frac{(-x+7)}{2x+2}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a010581a5db7fba8029c4cf20f9e65b0_l3.png)
となります。
二項分布の詳細については「13-1. 二項分布」をご覧ください。
問6
I:× 歪度は、「右裾が長い」もしくは「右に歪んだ」もしくは「左に偏った」分布のときには正の値を、「左裾が長い」もしくは「左に歪んだ」もしくは「右に偏った」分布のときには負の値をとります。
II:× 尖度は、正規分布より尖った分布(データが平均付近に集中し、分布の裾が重い)のときには正の値を、正規分布より扁平な分布(データが平均付近から散らばり、分布の裾が軽い)のときには負の値をとります。
III:× t分布は自由度が大きくなるほど正規分布に近づきます。正規分布の場合には尖度0になることから、t分布の自由度が大きくなるほど尖度の絶対値は小さくなります。
歪度と尖度の詳細については「3-5. 歪度と尖度」をご覧ください。
問7
ある年の6月における電気料金 と前年の6月における電気料金
との差を考えます。
および
はそれぞれ独立で同一の正規分布で近似されます。したがって、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle E(X-Y) = E(X) - E(Y)](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3ed006b6372ea4e6d710fc68846f1121_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle V(X-Y) = V(X) + V(Y)](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f8d1ae98bdeaf03bca46658c8f7fc3f_l3.png)
問題文より、
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle E(X-Y) = E(X) - E(Y) = 4000 - 4000 = 0](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eb4f40d4a650e5568503d8ae657e5a21_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle V(X-Y) = V(X) + V(Y) = 500^2 + 500^2 = 2\times 500^2](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4304e05bda54ca0b667ae5b3a23ba9d8_l3.png)
となります。求める確率は です。標準化を行うと
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P(X-Y) \geq 800](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b5d613846cf299ce7b1a86f670c987a9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P \left( \frac{(X-Y)-0}{\sqrt{2\times 500^2}} \right) \geq \frac{800-0}{2\times 500^2}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2f083b7025281033aca3f752902ea008_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle P \left( \frac{(X-Y)-0}{\sqrt{2\times 500^2}} \right) \geq \frac{800-0}{2\times 500^2} = 1.13](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5b816bbd516ee40433c5fdcff4ebb096_l3.png)
標準正規分布表を見ると、 となる確率は0.129です。したがって、
となる確率は0.129となります。
2変数の期待値と分散の詳細については「15-6. 2変数の期待値と分散」をご覧ください。
問8
2つの確率変数 と
の共分散
と相関係数
は次の式から計算できます。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0b177dac7b04968e6b6566e299a69efe_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle r_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{V[X]V[Y]}}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-18db3df790f366e0da0030a3c11a6b26_l3.png)
問題文の値を用いて計算すると
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle Cov(X,Y) = 6.3 - 2.0 \times 3.0 = 0.3](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e57be59e13ed76d2127c019f09e081b9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle r_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{V[X]V[Y]}} = \frac{0.3}{\sqrt{1.0 \times 1.0}} = 0.3](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c067b07729d9eb438c559d35b19142a_l3.png)
となります。次に、 と
について期待値、分散を計算します。
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle E[U] = E[3X-2] = 3E[X] - E[2] = 3 \times 2.0 - 2 = 4](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3de60d99c17393dd6ec91946580bf806_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle E[V] = E[-2Y-4] = -2E[Y] - E[4] = -2 \times 3.0 - 4 = -10](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-17d45c9fc2addbb599edb61f9c52a7d0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle V[U] = V[3X-2] = 3^2 \times V[X] - V[2] = 9 \times 1.0 - 0 = 9](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5e634fa3acc7059d9f1ee46d1b5ec870_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle V[V] = V[-2Y-4] = (-2)^2 \times V[Y] - V[4] = 4 \times 1.0 - 0 = 4](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-417204ee10a263f6c4bc81baf24f7570_l3.png)
したがってこれらの値を用いると、共分散 、相関係数
は
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle Cov(U,V) = E[UV] - E[U]E[V] = -41.8 - 4 \times (-10) = -1.8](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ed3dd0107e81e8df00d798aa94c807a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle r_{UV} = \frac{Cov(U,V)}{\sqrt{V[U]V[V]}} = \frac{-1.8}{\sqrt{9 \times 4}} = \fraq{-1.8}{6} = -0.3](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-60a1cc3db3c3ca8c289cc4600ea3dc35_l3.png)
となります。
2変数の期待値と分散の詳細については「15-6. 2変数の期待値と分散」をご覧ください。