先日、このような質問をいただきました。 「共分散」の定義において、積和をn-1で割る、という点が気になりました。他の文献でも、各２変数と平均の積和は、nで割られており、また、26-3. 相関係数においても、相関係数の分子となる共分散は、nで割ってあります。どちらが正しいのでしょうか？ 統計WEBの統計用語集の「共分散」のページを見てみると、 ...

概要 対応のない2標本t検定と分散分析の検定統計量の関係を整理します。 今回考える問題 2つの正規母集団A群とB群があり、どちらも母分散が等しく独立であるとします。この2群から、それぞれ大きさが$n_a$と$n_b$の標本を抽出します。 \displaystyle x _a \sim N (\mu _a ,\sigma ^2 ), x _b \sim N(\mu _b ,\sigma ^2) 得られたデータより、...

概要 平均$\mu$、分散$\sigma^2$をもつ正規分布$N(\mu,\sigma^2)$について、ある点で切断したときの期待値と分散を計算します。 必要な数学的知識 確率分布の基本的な性質、部分積分、置換積分 具体的な計算については、高校数学程度です。 切断正規分布の確率密度関数 正規分布$N(\mu,\sigma^2)$の確率密度関数は次の通りです \displaystyle p(x)=...

概要 身長の統計データを例に、母集団の違いが偏差値の算出に与える影響を実際に計算しました。 使用するデータ 文部科学省が実施する学校保健統計調査の2016年度の調査結果から、17歳の男性（高校3年生）の身長データを使用しました。 学校保健統計調査（e-Statへの外部リンク） 17歳男性の身長の分布 17歳の男性の平均身長は170.6cm、標準偏差は5.8...

概要 ブログ記事「正規分布の分散を計算する」の解説記事です。 次の式で表される正規分布の分散（Vとします）が$\sigma^2$となることについて、その計算の過程を補ったものです。 \displaystyle V= \int_{-\infty }^{\infty} (x-\mu)^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) dx = \sigma^2 なお、数学...

概要 正規分布$N(\mu,\sigma^2)$の分散は$\sigma^2$です。 公式のように覚えてしまうのもよいのですが、実際に計算して$\sigma^2$であることを確かめましょう。 ただし本記事では、意図的に式展開や計算の根拠などの行間を省いている部分があります。 練習問題のように実際に計算して、行間を埋めてください。 行間は、来月の記事で解説します。 ...

概要 この記事は、一致性を持つかどうか判断する簡単な方法を紹介します。以下では、弱一致性を単に一致性と呼びます。また、確率収束と$L_2$収束の関係にも簡単に触れています。 【目次】 一致性とは 一致性を証明する方法 一致性を判断する簡単な方法 使用例 解説 まとめ 一致性とは 推定量における一致性とは、何らかの母数$\th...

不偏分散は母分散の不偏推定量であることが知られています。では、不偏分散の正の平方根は母標準偏差の不偏推定量、つまり「不偏標準偏差」であると言えるでしょうか。結論から言うと、「不偏推定量ではない」が答えです。以下では、正規分布の場合を例にしてそれを確認します。 最初に、不偏分散$v^2$の式について確認しましょう。不偏分散は次のような推...