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回帰係数と相関係数

2017/08/14

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XからYへの回帰の回帰係数と、XとYの相関係数の間には次のような関係があります。

 回帰係数=相関係数×(Yの標準偏差/Xの標準偏差)

前回と同じようにベクトルを使って回帰係数と相関係数の関係を描いてみましょう。今回は次の身長(X)と体重(Y)のデータを使います。

最初は前回の方法で、相関係数(r)が0.80の2本のベクトルを描きます。2つのベクトルの内角は約37度になります。続いて、1本のベクトル(青色)を身長の標準偏差に合わせて10.06cmに伸ばします。もう1本のベクトル(赤色)を体重の標準偏差に合わせて7.12cmに縮めます。2つのベクトルの長さの比は身長を1とすると体重は0.71倍、体重を1とすると身長は1.41倍です。

続いて、体重のベクトルの先端から身長と垂直に交わる1本の線をおろします。

この身長と交点までの長さを測ると5.72cmになります。これは、身長の標準偏差10.06cmにXからYへの回帰係数0.57を掛けた長さになります。逆に、身長のベクトルの先端から、体重のベクトルと垂直に交わる線を引くと、ベクトルの交点までの長さは体重の標準偏差7.12cmにYからXへの回帰係数1.14を掛けた長さになります。