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2017年6月統計検定2級の一部問題の解説

2017/06/20

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※統計検定2級 解説記事一覧はこちら


2017年6月に実施された統計検定2級の問題の解説をしています。

 

この記事では、次の問題の解説をしています。下のリストからクリック、またはタップした問題の解説部分へジャンプします。

 

 

問9(回答番号9,10)

この問題では確率変数の定数倍の分散と、和の分散の関係式を使用します。それぞれ次のような式です。

 V(kX)= k^2 V(X) \\ V(X \pm Y) = V(X) +V(Y) \pm 2Cov(X,Y)

なお、問題文にXとYは独立であると書いてあるため、共分散Cov(X,Y)は0であることに注意しましょう。

■回答番号9

まず、UとVの従う分布を求めます。正規分布の再生性より、UとVはそれぞれ次のような正規分布に従います。

 U \sim N(0,\sigma_1^2 + \sigma_2^2) \\ V \sim N(0,\sigma_1^2 + \sigma_2^2)

特に明記していませんが、問題文中のE(X)=E(Y)=0を用いています。この時点で、UとVは同じ分布になる事がわかります。次に、UとVの相関係数を求めます。これをrとすると、相関係数の定義より次のようになります。

 \displaystyle r= \frac{Cov(U,V)}{\sqrt{V(U)V(V)}}

つまりV(U)V(V)Cov(U,V)の3つが分かれば、相関係数を求めることができます。V(U)V(Y)については先程の結果より、次の通りです。

 V(U)=V(V)= \sigma_1^2 + \sigma_2^2

次にCov(U,V)を求めます。UとVの和の分散について、確率変数の和の分散の関係式から次のようになります。

 V(U+V)=V(U)+V(V) + 2Cov(U,V) \\ \Longleftrightarrow 2Cov(U,V) =V(U+V)-V(U)-V(V)

右辺のV(U)V(V)\sigma_1^2 + \sigma_2^2であることが分かっているので、それぞれ代入します。

 2Cov(U,V) = V(U+V) - 2 \sigma_1^2 - 2 \sigma_2^2 \dots \textcircled{\scriptsize A}

ここでU=X+YV=X-Yであることを利用します。右辺のV(U+V)の部分に注目すると、V(U+V)は次のように変形できます。

 V(U+V)=V(X+Y+X-Y)=V(2X)=4V(X)=4 \sigma_1^2

これを\textcircled{\scriptsize A}式に代入します。

 2Cov(U,V) = 4 \sigma_1^2 - 2 \sigma_1^2 - 2 \sigma_2^2 =2 \sigma_1^2 - 2 \sigma_2^2 \\ \Longleftrightarrow Cov(U,V)= \sigma_1^2 - \sigma_2^2

以上の事からUとVの相関係数rは次のように求められます。

 \displaystyle r= \frac{\sigma_1^2 - \sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}

難しいように見えますが、基本的な変形のみで計算できました。

 

■回答番号10

各記述の正誤は次の通りです。

  • \mathrm{I}.正:UVは、ともに平均0の正規分布に従います。

  • \mathrm{I} \hspace{-.1em} \mathrm{I}.正:\sigma_1^2 = \sigma_2^2のとき、前問よりUVの共分散Cov(U,V) = \sigma_1^2 - \sigma_2^2は0となるため、UVは互いに独立になります。

  • \mathrm{I} \hspace{-.1em} \mathrm{I} \hspace{-.1em} \mathrm{I}.正:前問の途中でも触れましたが、UVはともにN \left( 0, \sigma_1^2 + \sigma_2^2 \right)に従うことが分かっています。また、明らかに\sigma_1^2\sigma_2^2がどのような値でも成立します。


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