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2017年6月統計検定2級の一部問題の解説

2017/06/20

カテゴリ：統計検定

タグ：2017年6月

※統計検定2級解説記事一覧はこちら※

2017年6月に実施された統計検定2級の問題の解説をしています。

この記事では、次の問題の解説をしています。下のリストからクリック、またはタップした問題の解説部分へジャンプします。

問9：確率変数の和や差の分布とその相関係数の問題

問9（回答番号9,10）

この問題では確率変数の定数倍の分散と、和の分散の関係式を使用します。それぞれ次のような式です。

$V(kX)= k^2 V(X) \\ V(X \pm Y) = V(X) +V(Y) \pm 2Cov(X,Y)$

なお、問題文にXとYは独立であると書いてあるため、共分散 $Cov(X,Y)$ は0であることに注意しましょう。

■回答番号9

まず、UとVの従う分布を求めます。正規分布の再生性より、UとVはそれぞれ次のような正規分布に従います。

$U \sim N(0,\sigma_1^2 + \sigma_2^2) \\ V \sim N(0,\sigma_1^2 + \sigma_2^2)$

特に明記していませんが、問題文中の $E(X)=E(Y)=0$ を用いています。この時点で、UとVは同じ分布になる事がわかります。次に、UとVの相関係数を求めます。これをrとすると、相関係数の定義より次のようになります。

$\displaystyle r= \frac{Cov(U,V)}{\sqrt{V(U)V(V)}}$

つまり $V(U)$ 、 $V(V)$ 、 $Cov(U,V)$ の3つが分かれば、相関係数を求めることができます。 $V(U)$ 、 $V(Y)$ については先程の結果より、次の通りです。

$V(U)=V(V)= \sigma_1^2 + \sigma_2^2$

次に $Cov(U,V)$ を求めます。UとVの和の分散について、確率変数の和の分散の関係式から次のようになります。

$V(U+V)=V(U)+V(V) + 2Cov(U,V) \\ \Longleftrightarrow 2Cov(U,V) =V(U+V)-V(U)-V(V)$

右辺の $V(U)$ と $V(V)$ は $\sigma_1^2 + \sigma_2^2$ であることが分かっているので、それぞれ代入します。

$2Cov(U,V) = V(U+V) - 2 \sigma_1^2 - 2 \sigma_2^2 \dots \textcircled{\scriptsize A}$

ここで $U=X+Y$ 、 $V=X-Y$ であることを利用します。右辺の $V(U+V)$ の部分に注目すると、 $V(U+V)$ は次のように変形できます。

$V(U+V)=V(X+Y+X-Y)=V(2X)=4V(X)=4 \sigma_1^2$

これを $\textcircled{\scriptsize A}$ 式に代入します。

$2Cov(U,V) = 4 \sigma_1^2 - 2 \sigma_1^2 - 2 \sigma_2^2 =2 \sigma_1^2 - 2 \sigma_2^2 \\ \Longleftrightarrow Cov(U,V)= \sigma_1^2 - \sigma_2^2$

以上の事からUとVの相関係数rは次のように求められます。

$\displaystyle r= \frac{\sigma_1^2 - \sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}$

難しいように見えますが、基本的な変形のみで計算できました。

■回答番号10

各記述の正誤は次の通りです。

$\mathrm{I}.$ 正： $U$ と $V$ は、ともに平均0の正規分布に従います。
$\mathrm{I} \hspace{-.1em} \mathrm{I}.$ 正： $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ のとき、前問より $U$ と $V$ の共分散 $Cov(U,V) =　\sigma_1^2 - \sigma_2^2$ は0となるため、 $U$ と $V$ は互いに独立になります。
$\mathrm{I} \hspace{-.1em} \mathrm{I} \hspace{-.1em} \mathrm{I}.$ 正：前問の途中でも触れましたが、 $U$ と $V$ はともに $N \left( 0, \sigma_1^2 + \sigma_2^2 \right)$ に従うことが分かっています。また、明らかに $\sigma_1^2$ や $\sigma_2^2$ がどのような値でも成立します。

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