令和2年公認会計士試験論文式試験（統計学）第7問問題1

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2021/07/16

カテゴリ：公認会計士（統計学）

問1

【ア】9個の測定値の平均値と19個の測定値の平均値が等しいことから、

$\displaystyle \frac{1}{9}\sum^{9}_{i=1} x_i = \frac{1}{19}\sum^{19}_{i=1} y_i = c$

となります。このMを用いて $\overline{x}$ と $\overline{y}$ を求めると、

$\displaystyle \overline{x} = \frac{9c + c + 0.5}{10}$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{19c + c + 0.5}{20}$

となります。 $\overline{x}$ と $\overline{y}$ の差は

$\displaystyle \overline{x} - \overline{y} = \frac{1}{20}(18c+2c+1-19c-c-0.5) = \frac{1}{20}\times 0.5 > 0$

となることから、 $\overline{x}$ は $\overline{y}$ より大きいといえます。

【イ】【ウ】

$\displaystyle \overline{y} = \frac{19c + c + 0.5}{20}$

を使って式を変形すると、

$\displaystyle c+1 = \frac{19c + y_{20}}{20}$

$\displaystyle 20c+20 = 19c + y_{20}$

$\displaystyle y_{20} = c+20$

となります。

問2

【エ】【オ】値が5である測定値の個数が $b$ であるとき、値が1である測定値の個数は $10-b$ となります。このとき $\overline{x}$ は次のようになります。

$\displaystyle \frac{1}{10}(1 \times (10-b) + 5 \times b) = \frac{1}{10}(10-b+5b) = \frac{1}{10}(4b+10) = \frac{2}{5}b + 1$

【カ】【キ】分散 $s^2_x$ は次のようになります。

$\frac{1}{10} \sum^{10}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})^2 = \frac{1}{10} \left\{\sum^{10-b}_{i=1}(1-\overline{x})^2 + \sum^{b}_{i=1}(5-\overline{x})^2 \right\}$

$= \frac{1}{10} \left\{(10-b)(1-\overline{x})^2 + b(5-\overline{x})^2 \right\}$

$= \frac{1}{10} \left\{(10-b)(1-2\overline{x}+\overline{x}^2) + b(25-10\overline{x}+\overline{x}^2) \right\}$

$= \frac{1}{10} \left\{(10-20\overline{x} + 10\overline{x}^2-b+2b\overline{x}-b\overline{x}^2) + (25b-10b\overline{x}+b\overline{x}^2) \right\}$

$= \frac{1}{10} \left\{10\overline{x}^2 - (8b+20)\overline{x} + 24b + 10\right\}$

$= \frac{1}{10} \left\{10(\frac{2}{5}b+1)^2 - (8b+20)(\frac{2}{5}b+1) + 24b + 10\right\}$

$= \frac{1}{10}(-\frac{8}{5}b^2+16b) =-\frac{8}{50}(b-5)^2+4$

【ク】したがって、分散 $s^2_x$ が最大となるのは $b=5$ の場合です。

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