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先日、「確率変数とは」というお問い合わせをいただいたので、私なりに、答えを考えてみました。

統計学の入門書を開くと、確率変数（random variable）は第2章あたりに出てきます。大概は、この後に、確率分布（probability distribution）へと解説が続きます。確率変数の章がないなら、その本に出てくる数式は少ないと予想されます。

確率変数を説明するときは、話を分かりやすくしようとして、サイコロ振りか、コイン投げの例が多く使われます。私としてはコイン投げの方が、このあと、ベルヌーイ試行、二項分布と話が繋がりやすいのではと思っています。

本によって、確率変数は、「Xのように大文字で」、「大文字のYで」、「X,Y等の大文字で」記述されます。ここを読み飛ばすと、この後出てくる数式の意味が分からなくなるので、必ずチェックしましょう。

確率変数は必ず数量が対応付けられています。コインなら表が「1」、裏が「0」といった具合です。身長が確率変数なら、「163」や「175」という数になります。前者は「0.3」、「0.5」と間を刻んでいくことができない、とびとびの数になるということから離散型確率変数といいます。これに対し、後者は幾らでも細かく刻むことができるので連続型確率変数といいます。

確率変数と「ただの変数」の違いは、変数がある値になる確率が決まっているかいないかです。コイン投げで表になる確率は、

　Pr(X＝1)＝0.5

サイコロの目が６になる確率は、

Pr {X＝6}＝1/6　

163cmより大きくて175cm以下の人の確率は、

　Pr(163＜Y≦175)=0.682

といったように書けます。なお、このPr(X)のことを確率関数といいます。

確率変数Xの値を横軸にして、Pr(X)の値を縦軸にすると確率分布のグラフになります。このグラフの形が釣鐘型になれば、確率変数Xは正規分布に従っていると言えます。

確率変数とは、推定や検定の対象そのものと考えてよいでしょう。