BellCurve 統計WEB

  • Step1. 初級編
  • 24. 平均値の検定

24-1. 母平均の検定(両側t検定)

検定は次の流れに従って行います。

  1. 仮説を立てる
  2. 有意水準を設定する
  3. 適切な検定統計量を決める
  4. 棄却ルールを決める
  5. 検定統計量を元に結論を出す

例題:

ある工場では部品Aを製造しています。製造された部品Aの中からランダムに10個を選び長さを測定したところ、平均値は7.2cm、標準偏差は0.2cmでした。部品Aの長さが正規分布に従うとき、この工場で製造している部品Aの長さは7.0cmといえるでしょうか。

  1. 仮説を立てる
  2. 帰無仮説H_{0}は「部品Aの長さは7.0cmである」とします。したがって、対立仮説H_{1}は「部品Aの長さは7.0cmではない」となります。

  3. 有意水準を設定する
  4. ここでは有意水準\alpha=0.05とします。

  5. 適切な検定統計量を決める
  6. この実験では母分散が分からないので、z統計量ではなく不偏分散s^{2}を用いるt統計量を使います。t統計量は次の式から求められます。\overline{x}はデータの平均、\muは母平均、nはサンプルサイズを表します。

     \displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}}=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}
  7. 棄却ルールを決める
  8. この検定で使用する分布は自由度「10-1=9」の「t分布」です。また、この工場で製造する部品Aの長さが7.0cmであるかどうかを調べることが目的なので、両側検定を行います。統計数値表からt_{0.025}(9)の値を読み取ると「2.262」となっています。

  9. 検定統計量を元に結論を出す
  10.  \displaystyle t=\frac{7.2-7.0}{\frac{0.2}{\sqrt{10}}} \fallingdotseq 3.16

    次の図は、自由度9のt分布を表したものです。t=3.16は、図の矢印の部分に該当します。矢印は棄却域に入っていることから、「有意水準5%において、帰無仮説を棄却し、対立仮説を採択する」という結果になります。つまり、「この工場で製造している部品Aの長さは7.0cmではない」と結論づけられます。

図1

【コラム】検定統計量とは?

検定統計量とは、統計を用いた検定を行う際に用いる標準化された値のことです。統計量と呼ばれることもあります。検定では、データから算出された検定統計量を元に、帰無仮説を棄却するかどうかを判断します。

z統計量(=z値)は次の式から算出される値です(\overline{x}:データの平均、\mu:母平均、\sigma^{2}:母分散、n:サンプルサイズ)。z統計量は標準正規分布に従うため、z統計量を用いた検定を行う際には標準正規分布を使います。

 \displaystyle z=\frac{\overline{x}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}}

一方、t統計量(=t値)は次の式から算出される値です(s^{2}:不偏分散)。t統計量は自由度n-1のt分布に従うため、t統計量を用いた検定を行う際には自由度n-1のt分布を使います。

 \displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}}

このt統計量を用いた検定のことを「t検定」といいます。t検定は、調べる値の母集団が正規分布することが前提条件となります。

24. 平均値の検定