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  • Step1. 初級編
  • 24. 平均値の検定

24-3. 2標本t検定とは

2つの母集団があり、それらに差があるかどうかを検定することを「2標本t検定」といいます。例えば、ある学校で行ったテストの点数が1組と2組とで差があるかどうかの検定や、被験者に対してある薬を投与する前後で血圧がどう変化したかの検定に使います。

図1

1群目の標本と2群目の標本が同一ではなく異なっている場合、「対応なし」と言います。例えば、1組と2組の生徒は異なるので、この2標本は「対応なし」となります。

図3

一方、1群目の標本と2群目の標本が同一である場合、「対応あり」と言います。同一の被験者に対する投薬実験の場合、この2標本は「対応あり」となります。

図4

■対応がない場合の2標本t検定の方法

対応がない場合の2標本t検定では、2つの標本に対応がないことを加味した検定統計量を用いる必要があります。母分散が分からない場合、1群目の標本平均を\overline{x}_{1}、サンプルサイズをn_{1}、2群目の標本平均を\overline{x}_{2}、サンプルサイズをn_{2}としたときに、次の式から算出されるt統計量を使います。検定で用いるのは自由度n_{1}+n_{2}-2のt分布です。

 \displaystyle t=\frac{\overline{x}_{1}-\overline{x}_{2}}{\sqrt{s^{2}\left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{1}}\right)}}=\frac{\overline{x}_{1}-\overline{x}_{2}}{s\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{1}}}}

ただし、この式には2つの標本の不偏分散を用いて算出した「プールした分散s^{2}」を使っています。プールした分散とは、2つの標本の不偏分散を1つにまとめたもので、1群目の不偏分散をs_{1}^{2}、2群目の不偏分散をs_{2}^{2}とした場合、下の式から求めることができます。

 \displaystyle s^{2}=\frac{(n_{1}-1) \times {s_{1}}^{2}+(n_{2}-1) \times {s_{2}}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}

■対応がある場合の2標本t検定の方法

対応がある場合の2標本t検定では、「対応のあるデータの差」を用いて検定を行います。差を用いると実質は1標本検定となるので、「24-1. 母平均の検定(両側t検定)」や「24-2. 母平均の検定(片側t検定)」と同様のやり方で行います。帰無仮説H_{0}は「対応のあるデータの差の平均は0である」となります。

24. 平均値の検定