24-5. 対応のある2標本t検定

例題：

血圧を下げる薬のテストを行います。被験者5人に対して薬の投与前と投与後の血圧を測定したところ、次の表のような結果が得られました。この結果から、薬の投与によって血圧は下がったと言えるでしょうか。

対応がある場合の2標本のt検定では2群の差が0かどうかについての検定を行います。この例題では、投薬前後での血圧の差が0かどうかを検定します。したがって、まず薬の投与前後での血圧の差とその平均値を算出します。

被検者No.	投与前の血圧	投与後の血圧	差（投与前-投与後）
1	180	150	30
2	130	135	-5
3	165	145	20
4	155	150	5
5	140	140	0
平均	154	144	10

帰無仮説 $H_{0}$ は「投薬前後の血圧は等しい＝投薬によって血圧は下がらなかった」とします。したがって、対立仮説 $H_{1}$ は「投薬によって血圧に差があった＝投薬によって血圧は下がった」となります。

$\alpha$ ＝0.05とします。

この実験では母分散が分からないので、不偏分散 $s^{2}$ を用いるt統計量を使います。統計量tは次の式から求められます。 $\overline{d}$ は投薬による血圧の差の平均、 $\mu$ は差の母平均、 $n$ はサンプルサイズを表します。

$\displaystyle t=\frac{\overline{d}-\mu}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}}=\frac{\overline{d}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$

この検定で使用する分布は自由度「5-1=4」の「t分布」です。この例題では血圧が下がったかどうかのみを考えればよいので、片側検定を行います。統計数値表から $t_{0.05}(4)$ の値を読み取ると「2.132」となっています。

投薬前後での血圧の差が0かどうかを検定するため、 $\mu$ =0となります。また、薬の投与前後での血圧の差の不偏分散 $s^{2}$ は次のように計算します。

$\displaystyle s^{2}=\frac{1}{5-1} \times \left\{(30-10)^{2}+(-5-10)^{2}+(20-10)^{2}+(5-10)^{2}+(0-10)^{2} \right\}=212.5$

この値を統計量tの式に代入すると次のようになります。

$\displaystyle t=\frac{10-0}{\sqrt{\frac{212.5}{5}}} \fallingdotseq 1.53$

次の図は自由度4のt分布を表したものです。t=1.53は図の矢印の部分に該当します。矢印は棄却域に入っていないことから、「有意水準5%において、帰無仮説は棄却されない」という結果になります。つまり、「投薬によって血圧が下がったとは言えない」と結論づけられます。