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  • Step1. 初級編
  • 24. 平均値の検定

24-5. 対応のある2標本t検定

例題:

血圧を下げる薬のテストを行います。被験者5人に対して薬の投与前と投与後の血圧を測定したところ、次の表のような結果が得られました。この結果から、薬の投与によって血圧は下がったと言えるでしょうか。

被検者No. 投与前の血圧 投与後の血圧
1 180 150
2 130 135
3 165 145
4 155 150
5 140 140

対応がある場合の2標本のt検定では2群の差が0かどうかについての検定を行います。この例題では、投薬前後での血圧の差が0かどうかを検定します。したがって、まず薬の投与前後での血圧の差とその平均値を算出します。

被検者No. 投与前の血圧 投与後の血圧 差(投与前-投与後)
1 180 150 30
2 130 135 -5
3 165 145 20
4 155 150 5
5 140 140 0
平均 154 140 10
  1. 仮説を立てる
  2. 帰無仮説H_{0}は「投薬前後の血圧は等しい=投薬によって血圧は下がらなかった」とします。したがって、対立仮説H_{1}は「投薬によって血圧に差があった=投薬によって血圧は下がった」となります。

  3. 有意水準を設定する
  4. \alpha=0.05とします。

  5. 適切な検定統計量を決める
  6. この実験では母分散が分からないので、不偏分散s^{2}を用いるt統計量を使います。統計量tは次の式から求められます。\overline{d}は投薬による血圧の差の平均、\muは差の母平均nサンプルサイズを表します。

     \displaystyle t=\frac{\overline{d}-\mu}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}}=\frac{\overline{d}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}
  7. 棄却ルールを決める
  8. この検定で使用する分布は自由度「5-1=4」の「t分布」です。この例題では血圧が下がったかどうかのみを考えればよいので、片側検定を行います。統計数値表からt_{0.05}(4)の値を読み取ると「2.132」となっています。

  9. 検定統計量を元に結論を出す
  10. 投薬前後での血圧の差が0かどうかを検定するため、\mu=0となります。また、薬の投与前後での血圧の差の不偏分散s^{2}は次のように計算します。

     \displaystyle s^{2}=\frac{1}{5-1} \times \left\{(30-10)^{2}+(-5-10)^{2}+(20-10)^{2}+(5-10)^{2}+(0-10)^{2} \right\}=212.5

    この値を統計量tの式に代入すると次のようになります。

     \displaystyle t=\frac{10-0}{\sqrt{\frac{212.5}{5}}} \fallingdotseq 1.53

    次の図は自由度4のt分布を表したものです。t=1.53は図の矢印の部分に該当します。矢印は棄却域に入っていないことから、「有意水準5%において、帰無仮説は棄却されない」という結果になります。つまり、「投薬によって血圧が下がったとは言えない」と結論づけられます。

図1

24. 平均値の検定

事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -