Step1. 基礎編
15. いろいろな確率分布3

15-1. 指数分布

■指数分布

指数分布は連続型確率分布の一つで、機械が故障してから次に故障するまでの期間や、災害が起こってから次に起こるまでの期間のように、次に何かが起こるまでの期間が従う分布です。ある期間に平均して $\lambda$ （ラムダ）回起こる現象が、次に起こるまでの期間 $X$ が指数分布に従うとき、 $X=x$ となる確率密度関数 $f(x)$ は次の式で表されます。 $\lambda$ は指数分布のパラメータであり、必ず正の値をとります。

$\displaystyle f(x) = \begin{cases} \lambda e^{- \lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0\end{cases}$

確率変数 $X$ が指数分布に従っている時、「 $X \sim Ex(\lambda)$ 」と書きます。また、 $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ は次のようになります。

$\displaystyle E(X)= \frac{1}{ \lambda }$

$\displaystyle V(X)= \frac{1}{ \lambda ^{2} }$

例えば、１時間に平均10人が来客するお店に、ある客が来てから次の客が来るまでの時間が5分となる確率密度を求めてみます。まず「時間」と「分」の単位を揃えるために5分を「1/12時間」とします。また、この例では $\lambda$ =10です。この $x$ =1/12と $\lambda$ =10を確率密度関数 $f(x)= \lambda e^{- \lambda x}$ に代入すると、次のようになります。

$\displaystyle f(1/12)= \lambda e^{- \lambda x} = 10 \times e^{- 10 \times 1/12} = 4.35$

※この計算は、関数電卓もしくはExcelなどを使って行ってください。

■指数分布のグラフ

同様の計算を行い、次の客が来るまでの時間が0分から60分となる場合の確率密度を表にまとめました。

次に客が来るまでの時間 $(x)$		そのときの確率密度
分	時間	そのときの確率密度
0	0.000	10.0
5	1/12	4.35
10	1/6	1.89
15	1/4	0.821
20	1/3	0.357
30	1/2	0.067
45	3/4	0.006
60	1	0.000

この表からグラフを描くと次のようになります。横軸は $x$ を、縦軸は確率密度を表します。

次に、さまざまな指数分布の形を見てみます。前述の例は $\lambda$ =10の指数分布を表したものでしたが、 $\lambda$ の値を0.1、0.5、1、2、5にした場合の指数分布は次のようになります。

■指数分布の使い方

累積分布関数 $F(x)$ は確率密度関数 $f(t)$ を用いて算出できることは、12-1章で既に学びました。

$\displaystyle F(x)=P(X \leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$

ただし、 $f(t)$ は指数分布に従う確率変数 $X$ の確率密度関数を表します。

$\displaystyle f(t)= \lambda e^{- \lambda t} ~~~( t \geq 0)$

ある期間に平均して $\lambda$ 回起こる現象が次に起こるまでの期間を $X$ としたとき、「期間 $X$ が $x$ 以下となる確率」、すなわち、「 $x$ までの累積分布関数 $F(x)$ 」は次のようになります。

$\displaystyle F(x)=P(X \leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}\lambda e^{- \lambda t}dt=1-e^{- \lambda x}$

例題：

1時間に平均10人が来るお店に、ある客が来てから次の客が来るまでの時間が5分以内である確率はいくらでしょうか。

まずは単位を揃えます。5分=1/12時間なので、「次の客が来るまでの時間 $t$ =1/12時間以下となる確率」を求めます。問題文から $\lambda$ =10です。 $F(t)=P(X \leq t)=1-e^{-\lambda t}$ に $t$ と $\lambda$ の値を代入して計算すると約57%であることが分かります。