Step1. 基礎編
9. 確率と期待値

9-3. 確率の計算（順列・組み合わせ）

確率の計算を行う場合、場合の数で学んだ組み合わせ（C）や順列（P）、あるいは集合の考え方を用いることでより効率よく計算できます。

例題：

白いボール3個と赤いボール7個があります。この中から無作為にボールを3つ取り出すとき、次のような事象が起こる確率はいくらでしょうか。

全て赤いボールが取り出される
白いボールが1つ、赤いボールが2つ取り出される

1. 全て赤いボールが取り出される

ボールは全部で10個あり、その中から3つ取り出す組み合わせは全部で ${}_{10} \mathrm{C}_3=120$ 通りあります。全て赤いボールが取り出される組み合わせは、全部で7つある赤いボールから3つ取り出される場合です。これは ${}_7 \mathrm{C}_3=35$ 通りあります。したがって、求める確率は次のようになります。

$P(A)=\displaystyle \frac{ {}_7 \mathrm{C}_3 }{ {}_{10} \mathrm{C}_3}=\displaystyle \frac{35}{120}=\displaystyle \frac{7}{24}$

2. 白いボールが1つ、赤いボールが2つ取り出される

白いボールが1つ、赤いボールが2つ取り出される組み合わせは、全部で3つある白いボールから1つ、全部で7つある赤いボールから2つが取り出される場合です。

3つある白いボールから1つ取り出される→ ${}_3 \mathrm{C}_1=3$ 通り
7つある赤いボールから2つ取り出される→ ${}_7 \mathrm{C}_2=21$ 通り

したがって、求める確率は次のようになります。

$P(A)=\displaystyle \frac{ {}_3 \mathrm{C}_1 \times {}_7 \mathrm{C}_2 }{ {}_{10} \mathrm{C}_3}=\displaystyle \frac{63}{120}=\displaystyle \frac{21}{40}$