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  • Step1. 初級編
  • 9. 確率と期待値

9-3. 確率の計算(順列・組み合わせ)

確率の計算を行う場合、場合の数で学んだ組み合わせ(C)順列(P)、あるいは集合の考え方を用いることでより効率よく計算できます。

例題:

白いボール3個と赤いボール7個があります。この中から無作為にボールを3つ取り出すとき、次のような事象が起こる確率はいくらでしょうか。

  1. 全て赤いボールが取り出される
  2. 白いボールが1つ、赤いボールが2つ取り出される

図1

1. 全て赤いボールが取り出される

図2

ボールは全部で10個あり、その中から3つ取り出す組み合わせは全部で{}_{10} \mathrm{C}_3=120通りあります。全て赤いボールが取り出される組み合わせは、全部で7つある赤いボールから3つ取り出される場合です。これは{}_7 \mathrm{C}_3=35通りあります。したがって、求める確率は次のようになります。

  P(A)=\displaystyle \frac{ {}_7 \mathrm{C}_3 }{ {}_{10} \mathrm{C}_3}=\displaystyle \frac{35}{120}=\displaystyle \frac{7}{24}

2. 白いボールが1つ、赤いボールが2つ取り出される

図3

白いボールが1つ、赤いボールが2つ取り出される組み合わせは、全部で3つある白いボールから1つ、全部で7つある赤いボールから2つが取り出される場合です。

  • 3つある白いボールから1つ取り出される→{}_3 \mathrm{C}_1=3通り
  • 7つある赤いボールから2つ取り出される→{}_7 \mathrm{C}_2=21通り

したがって、求める確率は次のようになります。

 P(A)=\displaystyle \frac{ {}_3 \mathrm{C}_1 \times {}_7 \mathrm{C}_2 }{ {}_{10} \mathrm{C}_3}=\displaystyle \frac{63}{120}=\displaystyle \frac{21}{40}

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9. 確率と期待値

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