- Step1. 基礎編
- 9. 確率と期待値
9-4. 確率の計算(余事象)
例題:
白いボール3個と赤いボール7個があります。この中から無作為にボールを3つ取り出すとき、赤いボールが少なくとも1つ取り出される確率はいくらでしょうか。
■場合分けする場合
赤いボールが「少なくとも1つ」出てくる場合は、このままだと何通りあるか計算するのは難しいので、次のようにいくつかの場合に分けて考えます。
- 赤いボールが1つ取り出される
- 赤いボールが2つ取り出される
- 赤いボールが3つ取り出される
これに白いボールが取り出される数を組み合わせると次のようになります。
- 白いボールが2個取り出され、赤いボールが1つ取り出される
- 白いボールが1個取り出され、赤いボールが2つ取り出される
- 赤いボールが3つ取り出される
- 「白いボールが2個取り出され、赤いボールが1つ取り出される」について
- 3つある白いボールから2つ取り出される→通り
- 7つある赤いボールから1つ取り出される→通り
- 「白いボールが1個取り出され、赤いボールが2つ取り出される」について
- 「赤いボールが3つ取り出される」について
となることから、通りです。
1と同様に考えればよいので通りとなります。
通りとなります。
1, 2, 3の結果をまとめると、
となることから、
と計算できます。よって、求める確率はとなります。
■余事象を用いる場合
「少なくとも◯個~」等と表される場合は、余事象を考えると計算が簡単になることがあります。「赤いボールが少なくとも1つ取り出される」事象の余事象は、「赤いボールが1つも取り出されない」=「白いボールが3つ取り出される」です。これは通りしかありません。
事象と余事象の関係から、ある事象をA、その余事象を、全事象をとすると
が成り立つので、赤いボールが少なくとも1つ取り出される事象は、
通りです。以上の事から、求める確率はとなります。余事象の確率は、ある事象Aの確率を用いて次のように求められます。
9. 確率と期待値
事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -
- 7. 場合の数
7-2. Pの使い方
- 7. 場合の数
7-3. Cの使い方
- 8. さまざまな事象
8-1. 事象とは
- 8. さまざまな事象
8-3. 余事象・空事象・排反事象