Step1. 基礎編
9. 確率と期待値

9-6. 加法定理

■2つの事象が互いに排反である場合

事象Aと事象Bが互いに排反（同時に起こらない事象）である場合、次の式が成り立ちます。

$P(A \cup B)=P(A) + P(B)$

この式を「加法定理」といいます。

例題1：

サイコロを1回投げます。このとき、「1」もしくは「2」が出る確率はいくらでしょうか。

サイコロを投げて「1」が出る確率を $P(A)$ 、「2」が出る確率を $P(B)$ とします。「1」が出る確率は $P(A)=\displaystyle \frac{1}{6}$ です。同様に、「2」が出る確率も $P(B)=\displaystyle \frac{1}{6}$ です。これらの2つの事象は同時には起こらないので、求める確率は加法定理により2つの和事象の確率になります。したがって、

$\displaystyle P(A \cup B)=P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

と算出できます。

■2つの事象が互いに排反ではない場合

事象Aと事象Bが互いに排反ではない場合、次の式が成り立ちます。この式は加法定理の一般的な形であり、上で述べたP(A∪B)=P(A)+P(B)はP(A∩B)=0のときのみ成り立つ式です。

$P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

この式は8-2章で学んだベン図を考えると分かりやすくなります。

例えば事象Aを「野球が好き」、事象Bを「サッカーが好き」とします。図より野球が好きと答えたのは12人なので $P(A) = \displaystyle \frac{12}{30}$ 、サッカーが好きと答えたのは18人なので $P(B) = \displaystyle \frac{18}{30}$ となります。

ただし、 $P(A \cup B)$ を計算するために $\displaystyle \frac{12}{30}$ と $\displaystyle \frac{18}{30}$ をそのまま足してしまうと、「野球もサッカーが好き」と答えた6人が重複して含まれてしまいます。

そのため $\displaystyle \frac{12}{30} + \displaystyle \frac{18}{30}$ から $\displaystyle P(A \cap B) = \frac{6}{30}$ を引く必要があります。

したがって、ある人が「野球もしくはサッカーが好き」と答える確率は

$\displaystyle P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{12}{30} + \frac{18}{30} - \frac{6}{30} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}$

となります。

例題2：

1から30までの自然数の中からランダムに1つ数字を選んだ時、その数字が2もしくは3で割りきれる確率はいくらでしょうか。

30までの自然数の中で、2で割り切れるものは15個（30/2=15）、3で割り切れるものは10個（30/3=10）あります。これらの数字の中にはそれぞれ6で割り切れる（＝2でも3でも割り切れる）ものが5個（30/6=5）ずつ含まれています。

事象Aを「2で割り切れる」、事象Bを「3で割り切れる」とすると、加法定理より求める確率は

$\displaystyle P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{15}{30} + \frac{10}{30} - \frac{5}{30} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$

となります。

例題3：

1から50までの自然数の中からランダムに1つ数字を選んだ時、その数字が2もしくは3もしくは5で割りきれる確率はいくらでしょうか。

3つの事象がある場合には、加法定理により次の式が成り立ちます。

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(C \cap A) + P(A \cap B \cap C)$

まずはじめに3つの事象それぞれの確率の和を求めます［P(A)+P(B)+P(C)］。この中にはAとB、BとC、CとAで重複しているものが含まれているのでこれらを引きます［-P(A∩B)-P(B∩C)-P(C∩A)］。ただし、AとBとCで重複しているものはP(A)+P(B)+P(C)の計算で3回分足し合わされており、-P(A∪B)-P(B∪C)-P(C∪A)の計算で3回分引かれてしまっています。そのため最後にP(A∩B∩C)を足します。

50までの自然数の中で、2で割り切れるものは25個（50/2=25）、3で割り切れるものは16個（50/3=16）、5で割り切れるものは10個（50/5=10）あります。これらの数字の中にはそれぞれ30で割り切れる（＝2でも3でも5でも割り切れる）ものが1個（50/30=1）ずつ含まれています。

また、2と3で割り切れるものは8個（50/6=8）、3と5で割り切れるものは3個（50/15=3）、5と2で割り切れるものは5個（50/10=5）あります。

したがって、事象Aを「2で割り切れる」、事象Bを「3で割り切れる」、事象Cを「5で割り切れる」とすると、加法定理より求める確率は

$\displaystyle P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(C \cap A) + P(A \cap B \cap C) = \frac{25}{50} + \frac{16}{50} + \frac{10}{50} - \frac{8}{50} - \frac{3}{50} - \frac{5}{50} + \frac{1}{50} = \frac{36}{50} = \frac{18}{25}$