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  • 9. 確率と期待値

練習問題(9. 確率と期待値)

1

ジョーカーを抜いた52枚のトランプから1枚をランダムに取り出すとき、ハートのエースが出る確率を求めよ。

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ランダムに取り出すとき、どのカードが出るかは同様に確からしくなります。13 \times 4 = 52通りの取り出し方に対して、ハートのエースが出る事象は1通りしかありません。したがって、答えは\displaystyle \frac{1}{52}になります。

2

エースからキングまでのスペードのマークのトランプ13枚がある。この中からランダムに1枚取り出すとき、偶数のカードが出る確率を求めよ。

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ランダムに1枚のカードを取り出すとき、取り出し方は全部で13通りあります。偶数のカードは{2, 4, 6, 8, 10, 12}の6枚あるので、求める確率は\displaystyle \frac{6}{13}となります。

3

エースからキングまでのスペードのマークのトランプ13枚がある。この中からランダムに2枚取り出すとき、取り出したカードが2枚とも5以下となる確率を求めよ。

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ランダムに2枚のカードを取り出すとき、取り出し方は全部で{}_{13} \mathrm{C}_2=78通りあります。5以下のカード2枚を取り出す組み合わせは{}_5 \mathrm{C}_2=10通りあります。以上から、求める確率は\displaystyle \frac{10}{78} = \displaystyle \frac{5}{39}となります。

4

さいころを2回投げたとき、目の和が3以上になる確率を求めよ。

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一見面倒臭そうに見えますが、さいころの目の和が3未満となる確率の余事象を考えると簡単です。さいころの2つの目の和が3未満、すなわち2以下となるのは、2つの目が1である事象1つしかありません。従って、1から「2回とも1が出る確率」を引いたものが求める確率となります。

 1- \left( \displaystyle \frac{1}{6} \times \displaystyle \frac{1}{6} \right) \\ = 1- \displaystyle \frac{1}{36}=\displaystyle \frac{35}{36}

5

さいころを投げ、出た目の数の2乗個のアメをもらえるゲームをする。このゲームを1回やる時にもらえるアメの個数の期待値を求めよ。

例:5の目が出ると、5×5=25個のアメがもらえる。

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さいころのどの目が出る確率も\displaystyle\frac{1}{6}であるので、期待値は次のように計算できます。

 \displaystyle\frac{1}{6} \left(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2 \right) \\ =\displaystyle \frac{91}{6}

したがって、もらえるアメの個数の期待値は\displaystyle\frac{91}{6}となります。

9. 確率と期待値

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