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  • Step1. 初級編
  • 10. 条件付き確率とベイズの定理

10-1. 条件付き確率とは

ある事象が起こるという条件のもとで、別のある事象が起こる確率のことを「条件付き確率」と言います。例えば、事象Bが起こるという条件のもとで事象Aが起こる場合、この条件付き確率はP(A|B)と表され、次の式により計算できます。

 P(A|B) = \displaystyle \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

例題1:

次の図の袋の中には、赤い玉が3つ、白い玉が3つ入っています。赤い玉のうち2つには「1」、残りの1つには「2」と書かれています。一方、白い玉のうち2つには「2」、残りの1つには「1」と書かれています。この袋の中から玉を1つ取り出す時、「1」と書かれた赤色の玉が取り出される確率はいくらでしょうか。

図2

6個の玉の中に「1」と書かれた赤色の玉は2個あるので、\displaystyle \frac{2}{6}= \displaystyle \frac{1}{3}となります。

例題2:

例題1と同じ袋の中から玉を1つ取り出した時、その玉は赤色でした。この赤い玉に「1」と書かれている確率はいくらでしょうか。

図3

この問題は例題1と同じように、「玉は全部で6個、赤い玉で「1」と書かれた玉は2個あるから、\displaystyle \frac{2}{6}= \displaystyle \frac{1}{3}と考えることはできません。なぜなら、既に玉の色は赤と分かっているので、このことを考慮する必要があるからです。このような場合の確率を「条件付き確率」といいます。

条件付き確率の式にあてはめて計算してみます。

  • P(赤玉である)=\displaystyle \frac{3}{6}= \displaystyle \frac{1}{2}  (赤玉は全6個中3個含まれている)
  • P(1と書いてある\cap赤玉である)=\displaystyle \frac{2}{6}= \displaystyle \frac{1}{3} (「1」と書いてある赤玉は全6個中2個含まれている)

したがって、赤玉が取り出された場合に「1」と書いてある確率は次のように算出できます。

この結果は、3個の赤色の玉のうち「1」と書かれた玉は2個あるので、「1」が取り出される確率は\displaystyle \frac{2}{3}であることを意味します。

例題3:

さいころを2回投げて出た目の和が8以上となる確率はいくらでしょうか。ただし、1回目に出た目は「4」であることが分かっています。

図4

この問題では2回の試行による2つの結果から条件付き確率を求めます。

  • P(1回目に出た目が4)=\displaystyle\frac{1}{6}
  • P(2回の目の和が8以上\cap1回目に出た目が4)=\displaystyle \frac{3}{36}(「サイコロを2回振った時の目の和が8以上、かつ1回目に出た目が4」となる目の組み合わせは(4, 4)(4, 5)(4, 6)の3通りあり、サイコロを2回振る場合に出る目の組み合わせは全部で36通りある)

したがって条件付き確率の式に当てはめると、求める条件付き確率は次のように算出できます。

10. 条件付き確率とベイズの定理

事前に読むと理解が深まる- 学習内容が難しかった方に -