Step1. 基礎編
13. いろいろな確率分布1

13-2. 二項分布の期待値と分散

確率変数 $X$ が二項分布 $B(n, p)$ に従う時、 $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ は以下のようになります。

$E(X)=np$

$V(X)=np(1-p)$

例えばコインを10回投げる時、表が出る回数 $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めてみます。コインを何回か投げたときに表が出る回数は二項分布に従います。試行回数は $n=10$ 、表が出る確率は $p=0.5$ であることから、次のように計算できます。

$E(X)=10 \times 0.5=5$

$V(X)=10 \times 0.5 \times (1-0.5)=2.5$

例題：

あるお菓子には当たりくじがついており、1,000個中120個の確率で当たりがついているということが分かっています。このお菓子の中からランダムに10個購入したとき、10個の中に当たりが0個、1個、2個含まれる確率はそれぞれいくらでしょうか。また、当たりの個数の期待値と分散はいくらでしょうか。

ただし、ここではお菓子は無限にあり、当たりの確率は一定である（1,000個中120個の確率で当たりが出る）と仮定します。

この問題では「当たり」か「はずれ」の2種類の結果しか無く、当たりの確率が一定であることから、二項分布を使って計算できます。購入するお菓子は10個なので試行回数 $n=10$ となります。1,000個中120個の確率で当たりが含まれているということが分かっているので、当たりの確率は $\displaystyle p=\frac{120}{1000}=0.12$ となります。